Matematematika képletek

A gömbbe kúpot írunk. A gömb középpontja a kúp magasságát úgy bontja két szakaszra, hogy a hosszabb szakasz egyenlő a rövidebb szakasz és a teljes magasság mértani középértékével. Határozzuk meg a gömb és a kúp térfogatának arányát.

MR-537

Adja meg azt az x valós számot, amelyre

$\log_{2} x = - 3$

MR-821

Egy szabályos dobókockával dobunk egyszer. Mekkora valószínőséggel lesz ez a dobás prímszám, ha tudjuk hogy a dobás páratlan?

MR-822

Van egy szabályos érménk,és egy olyan érménk, melynek mindkét oldala fej. A két érménből találomra választunk egyet, majd feldobjuk. A dobás eredménye fej.
Mekkora a valószínűsége, hogy szabályos érmét választottunk?

MR-823

Egy osztályban 9 fiú és 11 lány jár. A fiúk közül öten utaznak, négyen helyiek. A lányok közül hároman utaznak és nyolcan helyiek. Mi a valószínűsége annak, hogy ha kiválasztunk egy diákot, akkor ő utazó lesz, ha tudjuk hogy ő lány?

MR-829

Két féle kávéból 240 kg-ot kevernek össze: a jobb minőségűből 2330 Ft 1 kg ára, a másik fajtából 1270 Ft.
A keveréket 1800 Ft/kg-os áron akarják eladni. Hány kilogramm kávét használjanak fel a keverékhez az egyik, és mennyit a másik fajtából?

MR-838

Egy háromoldalú szabályos egyenes csonka gúla alsó és felső lapjának élei: $a_{1} = 10 \sqrt{3} c m$ és $a_{2} = 4 \sqrt{3} c m$ , oldaléle pedig: $s = 3 \sqrt{7} c m$ . Számítsa ki a csonka gúla térfogatát és felszínét?

MR-839

Oldja meg az alábbi egyenletet:

$x + 1 = 2$

MR-575

Oldja meg az alábbi egyenletet:

$10 x + 20 = 40$

MR-1

Egy derékszögű háromszög két befogója 8 cm és 6 cm. Számolja ki a háromszög kerületét és területét.

MR-97

Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést:

$\sqrt{4 x y} \cdot \sqrt[6]{x^{2} y^{3}} \cdot \sqrt[6]{x^{9} y^{8}}$

MR-534 / 1.

Egy 27 fős osztályban mindenki tesz érettségi vizsgát angolból vagy németből. 23 diák vizsgázik angolból, 12 diák pedig németből.
Hány olyan diák van az osztályban, aki angolból és németből is tesz érettségi vizsgát?

MR-565 / 1.1

Bontsa tényezőre az alábbi polinomot!

$27 - 125 \cdot b^{3}$

MR-576 / 1.1

Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán!

$(x + 1) \cdot (x + 2) - (x - 3) \cdot (x + 4) = 6$

MR-577 / 1.1

Oldja meg az alábbi lineáris egyenleteket a valós számok halmazán!

$10 \cdot x - 2 \cdot (25 - 3 \cdot x) - 3 = 8 \cdot (2 \cdot x - 6) - 5$

MR-578 / 1.1

Oldja meg az alábbi lineáris egyenleteket a valós számok halmazán!

$\frac{5 y - 2}{3} - \frac{4 y - 3}{5} = 6$

MR-579 / 1.1

Oldja meg az alábbi lineáris egyenletet a valós számok halmazán!

$\frac{3 \cdot (x + 1)}{2} - \frac{2 \cdot (x - 3)}{5} + 2 \cdot x - 1 = \frac{31 \cdot x}{10} + 4$

MR-580 / 1.1

Számítsd ki x,y és z értékét!

$x : y : z = 1 : 4 : 3, 2 x + 3 y - z = 22$

MR-581 / 1.1

Számítsuk ki x,y és z értékét!

$x : y = 2 : 5, x : z = 3 : 10, 5 x - 3 y + z = 5$

MR-582 / 1.1

Bontsuk fel az adott három szám (x,y és z) összegére az adott feltételek alapján!

$468; x : y = 3 : 4, y : z = 4 : 5$

MR-583 / 1.1

Bontsuk fel az adott három szám (x,y és z) összegére az adott feltételek alapján!

$1281; x : y : z = \frac{2}{3} : \frac{9}{5} : \frac{7}{12}$

MR-802 / 1.

Oldja meg a 6x ≡ 15 (mod 9) lineáris kongruenciát

MR-559 / 1.1

Oldja meg ay alábbi kifejezést!

$\frac{5 - 5 \cdot a}{1 + 2 \cdot a + a^{2}} \div \frac{10 - 10 \cdot a^{2}}{3 + 3 \cdot a}$

MR-561 / 1.1

Szamolja ki az alabbi kifejezest!

$\frac{7}{2 x - 4} - \frac{3}{x + 2} - \frac{12}{x^{2} - 4}$

MR-562 / 1.1

Oldja meg az alábbi egyenletet az ellentett együtthatók módszere alapján!

$\frac{x + 1}{3} + \frac{y - 1}{4} = 4 \land \frac{x - 2}{3} - \frac{y + 3}{2} = - 2$

MR-563 / 1.1

Oldja meg az alábbi egyenletrendszert az ellentett együtthatók módszere alapján!

$\frac{5 x - 3 y}{3} - \frac{2 y - 3 x}{5} = x + 1 \land \frac{2 x - 3 y}{3} - \frac{3 y - 4 x}{2} = y + 1$

MR-535 / 2.

Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja –18. Adja meg a sorozat ötödik tagját!

MR-412 / 8.

Az alábbi ábrán a [–3; 2] intervallumon értelmezett $x \mapsto - 2 \cdot |x - 1| + 3$ függvény grafikonja látható.
Adja meg a függvény értékkészletét!

MR-368 / 12.

Határozza meg a következő kifejezések igazságértékét:

$p \equiv \frac{3 + 2 x}{3} - \frac{2 - 3 x}{4} = \frac{29}{24}; x = 0, 5$

$q \equiv 3 (5 - y) - 2 (y - 1) = 1 + 3 y; y = 2$ Ezt követően határozza meg az alábbi két kifejezés igazságértékét is:

a) $(p \lor q) \land p$

b) $(p \land q) \lor p$

MR-527 / 12.

Az osztály lottót szervez, melyben az 1, 2, 3, 4, 5 számok közül húznak ki hármat. Tamás a 2, 3, 5 számokat jelöli be a szelvényen.
Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy Tamásnak telitalálata lesz!

MR-227 / 15.

MR-229 / 17.

MR-532 / 17.

Az ABC háromszög két csúcsa A(–3; –1) és B(3; 7), súlypontja az origó.

a) Határozza meg a C csúcs koordinátáit!

b) Írja fel a hozzárendelési utasítását annak a lineáris függvénynek, mely –3-hoz –1-et és 3-hoz 7-et rendel! (A hozzárendelési utasítást alakban $\sqrt{x}$ adja meg!)

c) Adott az A(–3; –1) és a B(3; 7) pont. Számítsa ki, hogy az x tengely melyik pontjából látható derékszögben az AB szakasz!

MR-230 / 18.

MR-371 / 31.

Adott az S halmaz: undefined. Határozza meg az A és B halmazokat,

undefined $B = \{y | y \in S \land (\frac{y^{2}}{2} - y) \in S\}$

majd a következő halmazokat: undefined

MR-125 / 125.

Hozza egyszerűbb alakra az alábbi kifejezést:

${(\frac{a^{- 1} + b^{- 1}}{b a^{- 1} + a b^{- 1}})}^{- 1} + {(\frac{a^{- 1} + b^{- 1}}{2})}^{- 1} - \frac{a^{- 1} - b^{- 1}}{a^{- 1} \cdot b^{- 1}}$

MR-126 / 126.

Hozza egyszerűbb alakra az alábbi kifejezést:

$(3 - 4 i) (3 + 4 i)$

MR-134 / 134.

Hozza egyszerűbb alakra az alábbi kifejezést:

${(\frac{2^{x} + 2^{- x}}{2})}^{2} - {(\frac{2^{x} - 2^{- x}}{2})}^{2} + 1$

MR-135 / 135.

Határozza meg az alábbi függvény első deriváltját:

$y = 10 e^{x} - 6 e^{2 x}$

MR-136 / 136.

Határozza meg az alábbi függvény első deriváltját:

$y = \frac{e^{2 x} - e^{- 3 x}}{e^{5 x} - e^{7 x}}$

MR-138 / 138.

Határozza meg az alábbi függvény első deriváltját:

$y = 2 a^{x} + a^{3 x} + \frac{1}{4} a^{- x}$

MR-139 / 139.

Határozza meg az alábbi függvény első deriváltját:

$y = 8^{\frac{x^{2}}{\cos x}}$

MR-140 / 140.

Határozza meg az alábbi függvény első deriváltját:

$y = 9^{6 x + \sqrt{x}}$

MR-143 / 143.

Határozza meg az alábbi függvény integrálját:

$\int x^{7} d x$

MR-199 / 199.

Oldja meg az alábbi egyenletet:

$2 x^{5} + x^{4} - 19 x^{3} + 19 x^{2} - x - 2 = 0$

MR-206 / 206.13

Oldja meg az alábbi egyenletet:

$\sqrt{2 x - 3} = \sqrt{x + 10} - 1$

MR-221 / 221.

Határozza meg az alábbi függvény első deriváltját:

$y = \sin 5 x \cos 7 x$

MR-247 / 247.

Határozza meg az alábbi függvény deriváltját:

$y = \ln (3 x + 4)$

MR-248 / 248.

Határozza meg az alábbi függvény első deriváljtát:

$y = \ln (3 x^{2} + 2 x - 6)$

MR-249 / 249.

Határozza meg az alábbi függvény első deriváljtát:

$y = \ln \sin^{2} x$

MR-255 / 255.

Oldja meg az alábbi egyenletet:

$\sqrt{x + \sqrt{x^{2} - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{x^{2} - 1}} = \sqrt{2 (x + 1)}$

MR-273 / 273.

Határozza meg az alábbi integrál értékét:

$\int (9 x^{2} + 6 x + 5) d x$

MR-302 / 302.779

Oldja meg az alábbi egyenletrendszert:

$\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 29 \\ x + y = 7 \end{matrix}$

MR-334 / 334.

Oldja meg a következő egyenletet:

$\log_{10} (x^{2} + 19) - \log_{10} (x - 8) = 2$

MR-343 / 343.

Számítsa ki a paralelogramma területét, ha magasságai 3 és $2 \sqrt{3}$ cm, az álatluk bezárt szög pedig 60°!

MR-349 / 349.

A rombusz terölete 100 cm², hegyesszöge pedig 30°. Számolja ki a rombusz átlóit!

MR-366 / 366.

Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

$x^{2} - x - 2 < 0$

MR-441 / 441.

Oldja meg az alábbi egyenletet:

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

MR-478 / 478.

Hozza egyszerűbb alakra az alábbi kifejezést:

$\frac{x + 7}{4} - \frac{x - 1}{4}$

MR-560 / 560.

Hozza egyszerűbb alakra az alábbi kifejezést!

$\frac{3 x - 3 y}{2 x + 2 y} \cdot \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}$

MR-569 / 569.

Oldja meg az alábbi egyenletet:

$x^{2} - 2 x - 35 = 0$

MR-574 / 574.

Oldja meg a következő egyenletet:

$2 x + 4 = 6$

MR-367 / 588.

Az $\vec{a}$ és $\vec{b}$ vektorok közötti szög $ψ = \frac{π}{6}$ . Számolja ki a $\vec{p} = \vec{a} + \vec{b}$ és $\vec{q} = \vec{a} - \vec{b}$ vektorok által bezárt szöget, ha $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ és $|\vec{b}| = 1$

MR-678 / 678.

A trapéz szárainak a hosszúsága 5 és 3. A trapézba kör írható. A trapézt középvonala olyan trapézokra bontja, amelyek területének az aránya 5:11. Számitsa ki a trapéz alapjainak a hosszúságát!

MR-680 / 680.

AZ ABCD trapéz (AB || CD) beírható köre az AB oldalt az E pontban érinti. Ha az AE=15, BE=10 és CD=8, számítsa ki a trapéz területét.

MR-803 / 803.

Oldjuk meg a 6x + 9y = 15 diofantoszi egyenletet.

MR-804 / 804.

Oldjuk meg a 150x − 54y = 18 diofantoszi egyenletet.

MR-828 / 828.

Bizonyítsa be hogy 100,117117117... racionális szám.

MR-831 / 831.

$\underset{n \to \infty}{l i m} \frac{n + 3}{n^{2} + 3 n + 2}$

MR-242 / 1175.

Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést:

$\cos^{2} x - \cos^{4} x + \sin^{4} x$

MR-243 / 1176.

Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést:

$t g^{2} x - s i n^{2} x = t g^{2} x \cdot s i n^{2} x$