357/MR00. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-357. példa

A gömbbe kúpot írunk. A gömb középpontja a kúp magasságát úgy bontja két szakaszra, hogy a hosszabb szakasz egyenlő a rövidebb szakasz és a teljes magasság mértani középértékével. Határozzuk meg a gömb és a kúp térfogatának arányát.

Forrás: MathReference: Általános matematika páldatár - 357.)

Algebra → Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek → Exponenciális egyenletek

a

R = \sqrt{x \cdot (x + R)}

R^{2} = x (x + R)

(1) R^{2} = x^{2} + x R

(2) R^{2} = x^{2} + r^{2}

(1) \land (2) \Rightarrow R^{2} = x^{2} + x R = x^{2} + r^{2}

(3) x R = r^{2}

(2) \land (3) \Rightarrow R^{2} = x^{2} + x R

x^{2} + R x - R^{2} = 0

x_{1, 2} = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 \cdot (- R^{2})}}{2}

x_{1, 2} = \frac{- R \pm \sqrt{5 R^{2}}}{2}

x_{1, 2} = \frac{- R \pm R \sqrt{5}}{2} = \frac{R (- 1 \pm \sqrt{5})}{2}

x_{2} < 0 \Rightarrow x = x_{1}

x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} R

V_{1} = \frac{4 R^{3} π}{3}

V_{2} = \frac{r^{2} πH}{3} = \frac{r^{2} π (x + R)}{3}

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{4 R^{3} π}{3}}{\frac{r^{2} π (x + R)}{3}}

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{4 R^{3} π}{r^{2} π (x + R)}

= \frac{4 R^{3} π}{x R π (x + R)}

= \frac{4 R^{2}}{x (x + R)}

= \frac{4 R^{2}}{(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}) \cdot R \cdot (R + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \cdot R)}

= \frac{4 R^{2}}{R^{2} \cdot (\frac{\sqrt{5} - 1}{2}) \cdot (1 + \frac{\sqrt{5} - 1}{2})}

= \frac{4}{(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}) \cdot (1 + \frac{\sqrt{5} - 1}{2})}

= \frac{4}{(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}) \cdot (\frac{2 + \sqrt{5} - 1}{2})}

= \frac{4}{(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{5} + 1}{2})}

= \frac{4}{\frac{{(\sqrt{5})}^{2} - 1^{2}}{2^{2}}}

= \frac{4}{\frac{5 - 1}{2}}

= \frac{4}{\frac{4}{2}}

= \frac{4}{2}

\frac{V_{1}}{V_{2}} = 2

\frac{V_{1}}{V_{2}} = 2