678/MR00. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-678 / 678. példa

A trapéz szárainak a hosszúsága 5 és 3. A trapézba kör írható. A trapézt középvonala olyan trapézokra bontja, amelyek területének az aránya 5:11. Számitsa ki a trapéz alapjainak a hosszúságát!

Összes példa

Forrás: MathReference: Általános matematika páldatár - 678.)

Geometria → Síkidomok → Négyszög

$a + b = 5 + 3$

$m = \frac{a + b}{2}$

$T = m \cdot h = m \cdot 2 r$

$T_{1} = \frac{m_{1} \cdot r}{2}$

$T_{2} = \frac{m_{2} \cdot r}{2}$

$m_{1} = \frac{m + b}{2}$

$m_{2} = \frac{a + m}{2}$

$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{m_{1} \cdot r}{m_{2} \cdot r} = \frac{5}{11}$

$\frac{\frac{m + b}{2}}{\frac{a + m}{2}} = \frac{5}{11}$

$\frac{m + b}{a + m} = \frac{5}{11}$

$11 \cdot (m + b) = 5 \cdot (a + m)$

$11 \cdot (\frac{a + b}{2} + b) = 5 \cdot (a + \frac{a + b}{2})$

$11 \cdot (\frac{a + b}{2} + b) \cdot 2 = 5 \cdot (a + \frac{a + b}{2}) \cdot 2$

$11 \cdot (a + b + 2 b) = 5 \cdot (2 a + a + b)$

$11 \cdot (a + 3 b) = 5 \cdot (3 a + b)$

$11 a + 33 b = 15 a + 5 b$

$11 a - 15 a + 33 b - 5 b = 0$

$- 4 a + 28 b = 0$

$\begin{matrix} a + b = 8 \\ - 4 a + 28 b = 0 \end{matrix}$

$\begin{matrix} a + b = 8 | \cdot 4 \\ - 4 a + 28 b = 0 \end{matrix}$

$\begin{matrix} 4 a + 4 b = 32 \\ - 4 a + 28 b = 0 \end{matrix}$

$4 b + 28 b = 32 + 0$

$32 b = 32$

$b = \frac{32}{32}$

$b = 1$

$a + b = 8$

$a + 1 = 8$

$a = 8 - 1$

$a = 7$

MathReference - Példatár