160/MR00. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-160. példa

Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést:

${(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{3000} + {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{3000}$

Forrás: MathReference: Általános matematika páldatár - 160.)

Algebra → Komplex százmok → Komplex számok hatványozása

{(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{3000} + {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{3000}

{(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{3000} + {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{3000}

= {[{(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{3}]}^{1000} + {[{(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{3}]}^{1000}

$= {[\frac{1^{3} + 3 \cdot 1^{2} \cdot (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 \cdot {(i \sqrt{3})}^{2} + {(i \sqrt{3})}^{3}}{2^{3}}]}^{1000} + {[\frac{1^{3} - 3 \cdot 1^{2} \cdot (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 \cdot {(i \sqrt{3})}^{2} - {(i \sqrt{3})}^{3}}{2^{3}}]}^{1000}$

= {[\frac{1 + 3 \sqrt{3} i - 9 - 3 \sqrt{3} i}{8}]}^{1000} + {[\frac{1 - 3 \sqrt{3} i - 9 + 3 \sqrt{3} i}{8}]}^{1000}

= {[\frac{- 8}{8}]}^{1000} + {[\frac{- 8}{8}]}^{1000}

= {[- 1]}^{1000} + {[- 1]}^{1000}

$= 2$

MathReference - Példatár