Harmadfokú egyenlet

Kanonikus alak

$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$

Redukált alak:

Az alábbi helyettesítést bevezetve:

$x = y - \frac{b}{3 a}$

A harmadfokú egyenlet redukált alakja:

$x^{3} + 3 p y + 2 q = 0$

Diszkrimináns: $D = q^{2} + p^{3}$

Ha D < 0: három különböző gyök
Ha D = 0: három valós gyök, az egyik kétszeres
Ha D > 0: egy valós és két komplex gyök

A redukált alak gyöke:

$u = \sqrt[3]{- q + \sqrt{D}}$

$v = \sqrt[3]{- q - \sqrt{D}}$

$y_{1} = u + v$

$y_{2} = ε_{1} u + ε_{2} v$

$y_{3} = ε_{2} u + ε_{1} v$

$ε_{1, 2} = - \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i$

$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}$

$x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} = - \frac{d}{a}$

$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} = - \frac{c}{d}$

Kulcsszavak: Harmadfokú egyenlet, polinóm