Jednačina trećeg reda

Kanonični oblik:

$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$

Normalizovani oblik:

Uvodeći donji smenu:

$x = y - \frac{b}{3 a}$

Normalizovani oblik jednačine trećeg reda:

$x^{3} + 3 p y + 2 q = 0$

Diskriminanta: $D = q^{2} + p^{3}$

Ha D < 0: tri različita rešenja
Ha D = 0: tri realna rešenja, jodno je dvostruko
Ha D > 0: jedno realno rešenje i dva kompleksna rešenja

Rešenja normalizovanog oblika

$u = \sqrt[3]{- q + \sqrt{D}}$

$v = \sqrt[3]{- q - \sqrt{D}}$

$y_{1} = u + v$

$y_{2} = ε_{1} u + ε_{2} v$

$y_{3} = ε_{2} u + ε_{1} v$

$ε_{1, 2} = - \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i$

Vietove formule (Veza između koeficijenata i rešenja)

$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}$

$x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} = - \frac{d}{a}$

$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} = - \frac{c}{d}$

Ključne reči: Jednačina trećeg reda, polinom