Legyen halmaz a -nál nem nagyobb pozitív egész számok halmaza, pedig a -mal osztható egyjegyű pozitív egész számok halmaza.
Elemeinek felsorolásával adja meg az , a , az és az halmazt!
Egy konzerv tömege a konzervdobozzal együtt 750 gramm. A konzervdoboz tömege a teljes tömeg 12%-a.
Hány gramm a konzerv tartalma?
Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: . Válaszát indokolja!
Válassza ki az f függvény hozzárendelési szabályát az A, B, C, D lehetőségek közül úgy, hogy az megfeleljen az alábbi értéktáblázatnak:
| x | -2 | 0 | 2 |
| f(x) | -4 | 0 | -4 |
Egy osztályban 25-en tanulnak angolul, 17-en tanulnak németül. E két nyelv közül legalább az egyiket mindenki tanulja.
Hányan tanulják mindkét nyelvet, ha az osztály létszáma 30?
Egy termék árát az egyik hónapban 20%-kal, majd a következő hónapban újabb 20%-kal megemelték. A két áremelés együttesen hány százalékos áremelésnek felel meg?
Válaszát indokolja!
Melyik számjegy állhat a 2582X ötjegyű számban az X helyén, ha a szám osztható 3-mal?
Válaszát indokolja!
Az ábrán a [–1; 5] intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható.
Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát!
Adja meg az x értékét, ha
Egy irodai számítógép-hálózat hat gépből áll. Mindegyik gép ezek közül három másikkal van közvetlenül összekötve.
Rajzoljon egy olyan gráfot, amely ezt a hálózatot szemlélteti!
Egy téglalap szomszédos oldalainak hossza 4,2 cm és 5,6 cm.
Mekkora a téglalap körülírt körének sugara? Válaszát indokolja!
Egy kalapban 3 piros, 4 kék és 5 zöld golyó van. Találomra kihúzunk a kalapból egy golyót.
Adja meg annak valószínűségét, hogy a kihúzott golyó nem piros!
Adott az és a pont.
a) Számítással igazolja, hogy az és pontok illeszkednek az egyenletű egyenesre!
b) Írja fel az átmérőjű kör egyenletét!
c) Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely az átmérőjű kört a pontban érinti!
a) Egy háromszög oldalainak hossza , és . Mekkora a háromszög -es oldalával szemközti szöge?
b) Oldja meg a intervallumon a következő egyenletet:
c) Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)!
I) Az függvény páratlan függvény.
II) A függvény értékkészlete a zárt intervallum.
III) A függvény szigorúan monoton növekszik aintervallumon.
a) Egy számtani sorozat első tagja 5, differenciája 3. A sorozat első n tagjának összege 440. Adja meg n értékét!
b) Egy mértani sorozat első tagja 5, hányadosa 1,2. Az első tagtól kezdve legalább hány tagot kell összeadni ebben a sorozatban, hogy az összeg elérje az 500-at?
A vízi élőhelyek egyik nagy problémája az algásodás. Megfelelő fény- és hőmérsékleti viszonyok mellett az algával borított terület nagysága akár 1-2 nap alatt megduplázódhat.
a) Egy kerti tóban minden nap (az előző napi mennyiséghez képest) ugyanannyi-szorosára növekedett az algával borított terület nagysága. A kezdetben 1,5 m2-en észlelhető alga hét napi növekedés után borította be teljesen a 27 m2-es tavat.
Számítsa ki, hogy naponta hányszorosára növekedett az algás terület!
Egy parkbeli szökőkút medencéjének alakja szabályos hatszög alapú egyenes hasáb.
A szabályos hatszög egy oldala 2,4 m hosszú, a medence mélysége 0,4 m. A medence alját és oldalfalait csempével burkolták, majd a medencét teljesen feltöltötték vízzel.
b) Hány m2 területű a csempével burkolt felület, és legfeljebb hány liter víz fér el a medencében?
A szökőkútban hat egymás mellett, egy vonalban elhelyezett kiömlő nyíláson keresztül törhet a magasba a víz. Minden vízsugarat egy-egy színes lámpa világít meg. Mindegyik vízsugár megvilágítása háromféle színű lehet: kék, piros vagy sárga.
Az egyik látványprogram úgy változtatja a vízsugarak megvilágítását, hogy egy adott pillanatban három-három vízsugár színe azonos legyen, de mind a hat ne legyen azonos színű (például kék-sárga-sárga-kék-sárga-kék).
c) Hányféle különböző látványt nyújthat ez a program, ha a vízsugaraknak csak a színe változik?
Kóstolóval egybekötött termékbemutatót tartottak egy új kávékeverék piaci megjelenését megelőzően. Két csoport véleményét kérték úgy, hogy a terméket az 1-től 10-ig terjedő skálán mindenkinek egy-egy egész számmal kellett értékelnie. Mindkét csoport létszáma 20 fő volt. A csoportok értékelése az alábbi táblázatban látható.
| pontszám | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| gyakoriság az 1. csoportban | 0 | 0 | 1 | 0 | 6 | 8 | 2 | 2 | 1 | 0 |
| gyakoriság az 1. csoportban | 0 | 8 | 0 | 2 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 9 |
a) Ábrázolja közös oszlopdiagramon, különböző jelölésű oszlopokkal a két csoport pontszámait! A diagramok alapján fogalmazzon meg véleményt arra vonatkozóan, hogy melyik csoportban volt nagyobb a pontszámok szórása! Véleményét a diagramok alapján indokolja is!
b) Hasonlítsa össze a két csoport pontszámainak szórását számítások segítségével is!
Kétféle kávéból 14 kg 4600 Ft/kg egységárú kávékeveréket állítanak elő. Az olcsóbb kávéfajta egységára 4500 Ft/kg, a drágábbé pedig 5000 Ft/kg. darab
c) Hány kilogramm szükséges az egyik, illetve a másik fajta kávéból?
András és Péter „számkártyázik” egymással. A játék kezdetén mindkét fiúnál hat-hat lap van: az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számkártya. Egy mérkőzés hat csata megvívását jelenti, egy csata pedig abból áll, hogy András és Péter egyszerre helyez el az asztalon egy-egy számkártyát. A csatát az nyeri, aki a nagyobb értékű kártyát tette le. A nyertes elviszi mindkét kijátszott lapot. (Például ha András a 4-est, Péter a 2-est teszi le, akkor András viszi el ezt a két lapot.) Ha ugyanaz a szám szerepel a két kijátszott számkártyán, akkor a csata döntetlenre végződik. Ekkor mindketten egy-egy kártyát visznek el. Az elvitt kártyákat a játékosok maguk előtt helyezik el, ezeket a továbbiakban már nem játsszák ki.
a) Hány kártya van Péter előtt az első mérkőzés után, ha András az 1, 2, 3, 4, 5, 6, Péter pedig a 2, 4, 5, 3, 1, 6 sorrendben játszotta ki a lapjait?
A második mérkőzés során Péter az 1, 2, 3, 4, 5, 6 sorrendben játszotta ki a lapjait, és így összesen két lapot vitt el.
b) Adjon meg egy lehetséges sorrendet, amelyben András kijátszhatta lapjait!
A harmadik mérkőzés hat csatája előtt András elhatározta, hogy az első csatában a 2-es, a másodikban a 3-as számkártyát teszi majd le, Péter pedig úgy döntött, hogy ő véletlenszerűen játssza ki a lapjait (alaposan megkeveri a hat kártyát, és mindig a felül lévőt küldi csatába).
c) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy az első két csatát Péter nyeri meg!
A negyedik mérkőzés előtt mindketten úgy döntöttek, hogy az egész mérkőzés során véletlenszerűen játsszák majd ki a lapjaikat. Az első három csata után Andrásnál a 3, 4, 6 számkártyák maradtak, Péternél pedig az 1, 5, 6 számkártyák.
d) Adja meg annak a valószínűségét, hogy András az utolsó három csatából pontosan kettőt nyer meg!