Matematematika képletek

Magyarország: Közép szintű matematika érettségi [2014. május 6.]

Legyen $A$ halmaz a $8$ -nál nem nagyobb pozitív egész számok halmaza, $B$ pedig a $3$ -mal osztható egyjegyű pozitív egész számok halmaza.
Elemeinek felsorolásával adja meg az $A$ , a $B$ , az $A \cap B$ és az $A ∖ B$ halmazt!

MR-800 / 2.

Egy konzerv tömege a konzervdobozzal együtt 750 gramm. A konzervdoboz tömege a teljes tömeg 12%-a.
Hány gramm a konzerv tartalma?

MR-801 / 3.

Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: ${(x - 3)}^{2} + 2 x = 14$ . Válaszát indokolja!

MR-805 / 4.

Válassza ki az f függvény hozzárendelési szabályát az A, B, C, D lehetőségek közül úgy, hogy az megfeleljen az alábbi értéktáblázatnak:

x	-2	0	2
f(x)	-4	0	-4

$A : f (x) = 2 x; B : f (x) = x^{2}; C : f (x) = - 2 x; D : f (x) = - x^{2}$

MR-806 / 5.

Egy osztályban 25-en tanulnak angolul, 17-en tanulnak németül. E két nyelv közül legalább az egyiket mindenki tanulja.
Hányan tanulják mindkét nyelvet, ha az osztály létszáma 30?

MR-807 / 6.

Egy termék árát az egyik hónapban 20%-kal, majd a következő hónapban újabb 20%-kal megemelték. A két áremelés együttesen hány százalékos áremelésnek felel meg?
Válaszát indokolja!

MR-808 / 7.

Melyik számjegy állhat a 2582X ötjegyű számban az X helyén, ha a szám osztható 3-mal?
Válaszát indokolja!

MR-809 / 8.

Az ábrán a [–1; 5] intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható.
Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát!

$\begin{matrix} A : x \mapsto |x - 3| + 1 \\ B : x \mapsto - |x + 3| + 1 \\ C : x \mapsto - |x - 3| + 1 \\ D : x \mapsto - |x + 3| - 1 \end{matrix}$

MR-810 / 9.

Adja meg az x értékét, ha $\log_{2} (x + 1) = 5$

MR-811 / 10.

Egy irodai számítógép-hálózat hat gépből áll. Mindegyik gép ezek közül három másikkal van közvetlenül összekötve.
Rajzoljon egy olyan gráfot, amely ezt a hálózatot szemlélteti!

MR-812 / 11.

Egy téglalap szomszédos oldalainak hossza 4,2 cm és 5,6 cm.
Mekkora a téglalap körülírt körének sugara? Válaszát indokolja!

MR-813 / 12.

Egy kalapban 3 piros, 4 kék és 5 zöld golyó van. Találomra kihúzunk a kalapból egy golyót.
Adja meg annak valószínűségét, hogy a kihúzott golyó nem piros!

MR-814 / 13.

Adott az $A (5; 2)$ és a $B (- 3; - 2)$ pont.
a) Számítással igazolja, hogy az $A$ és $B$ pontok illeszkednek az $x - 2 y = 1$ egyenletű $e$ egyenesre!
b) Írja fel az $A B$ átmérőjű kör egyenletét!
c) Írja fel annak az $f$ egyenesnek az egyenletét, amely az $A B$ átmérőjű kört a $B$ pontban érinti!

MR-815 / 14.

a) Egy háromszög oldalainak hossza $5 c m$ , $7 c m$ és $8 c m$ . Mekkora a háromszög $5 c m$ -es oldalával szemközti szöge?

b) Oldja meg a $[0, 2 π]$ intervallumon a következő egyenletet: $\cos^{2} x = \frac{1}{4} (x \in ℝ)$

c) Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)!
I) Az $f : ℝ \to ℝ, f (x) = \sin x$ függvény páratlan függvény.
II) A $g : ℝ \to ℝ, g (x) = \cos 2 x$ függvény értékkészlete a $[- 2; 2]$ zárt intervallum.
III) A $h : ℝ \to ℝ, h (x) = \cos x$ függvény szigorúan monoton növekszik a $[- \frac{π}{4}; \frac{π}{4}]$ intervallumon.

MR-816 / 15.

a) Egy számtani sorozat első tagja 5, differenciája 3. A sorozat első n tagjának összege 440. Adja meg n értékét!

b) Egy mértani sorozat első tagja 5, hányadosa 1,2. Az első tagtól kezdve legalább hány tagot kell összeadni ebben a sorozatban, hogy az összeg elérje az 500-at?

MR-817 / 16.

A vízi élőhelyek egyik nagy problémája az algásodás. Megfelelő fény- és hőmérsékleti viszonyok mellett az algával borított terület nagysága akár 1-2 nap alatt megduplázódhat.

a) Egy kerti tóban minden nap (az előző napi mennyiséghez képest) ugyanannyi-szorosára növekedett az algával borított terület nagysága. A kezdetben 1,5 m²-en észlelhető alga hét napi növekedés után borította be teljesen a 27 m²-es tavat.
Számítsa ki, hogy naponta hányszorosára növekedett az algás terület!

Egy parkbeli szökőkút medencéjének alakja szabályos hatszög alapú egyenes hasáb.
A szabályos hatszög egy oldala 2,4 m hosszú, a medence mélysége 0,4 m. A medence alját és oldalfalait csempével burkolták, majd a medencét teljesen feltöltötték vízzel.

b) Hány m² területű a csempével burkolt felület, és legfeljebb hány liter víz fér el a medencében?

A szökőkútban hat egymás mellett, egy vonalban elhelyezett kiömlő nyíláson keresztül törhet a magasba a víz. Minden vízsugarat egy-egy színes lámpa világít meg. Mindegyik vízsugár megvilágítása háromféle színű lehet: kék, piros vagy sárga.
Az egyik látványprogram úgy változtatja a vízsugarak megvilágítását, hogy egy adott pillanatban három-három vízsugár színe azonos legyen, de mind a hat ne legyen azonos színű (például kék-sárga-sárga-kék-sárga-kék).

c) Hányféle különböző látványt nyújthat ez a program, ha a vízsugaraknak csak a színe változik?

MR-818 / 17.

Kóstolóval egybekötött termékbemutatót tartottak egy új kávékeverék piaci megjelenését megelőzően. Két csoport véleményét kérték úgy, hogy a terméket az 1-től 10-ig terjedő skálán mindenkinek egy-egy egész számmal kellett értékelnie. Mindkét csoport létszáma 20 fő volt. A csoportok értékelése az alábbi táblázatban látható.

pontszám	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
gyakoriság az 1. csoportban	0	0	1	0	6	8	2	2	1	0
gyakoriság az 1. csoportban	0	8	0	2	0	1	0	0	0	9

a) Ábrázolja közös oszlopdiagramon, különböző jelölésű oszlopokkal a két csoport pontszámait! A diagramok alapján fogalmazzon meg véleményt arra vonatkozóan, hogy melyik csoportban volt nagyobb a pontszámok szórása! Véleményét a diagramok alapján indokolja is!

b) Hasonlítsa össze a két csoport pontszámainak szórását számítások segítségével is!

Kétféle kávéból 14 kg 4600 Ft/kg egységárú kávékeveréket állítanak elő. Az olcsóbb kávéfajta egységára 4500 Ft/kg, a drágábbé pedig 5000 Ft/kg. darab

c) Hány kilogramm szükséges az egyik, illetve a másik fajta kávéból?

MR-819 / 18.

András és Péter „számkártyázik” egymással. A játék kezdetén mindkét fiúnál hat-hat lap van: az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számkártya. Egy mérkőzés hat csata megvívását jelenti, egy csata pedig abból áll, hogy András és Péter egyszerre helyez el az asztalon egy-egy számkártyát. A csatát az nyeri, aki a nagyobb értékű kártyát tette le. A nyertes elviszi mindkét kijátszott lapot. (Például ha András a 4-est, Péter a 2-est teszi le, akkor András viszi el ezt a két lapot.) Ha ugyanaz a szám szerepel a két kijátszott számkártyán, akkor a csata döntetlenre végződik. Ekkor mindketten egy-egy kártyát visznek el. Az elvitt kártyákat a játékosok maguk előtt helyezik el, ezeket a továbbiakban már nem játsszák ki.

a) Hány kártya van Péter előtt az első mérkőzés után, ha András az 1, 2, 3, 4, 5, 6, Péter pedig a 2, 4, 5, 3, 1, 6 sorrendben játszotta ki a lapjait?

A második mérkőzés során Péter az 1, 2, 3, 4, 5, 6 sorrendben játszotta ki a lapjait, és így összesen két lapot vitt el.

b) Adjon meg egy lehetséges sorrendet, amelyben András kijátszhatta lapjait!

A harmadik mérkőzés hat csatája előtt András elhatározta, hogy az első csatában a 2-es, a másodikban a 3-as számkártyát teszi majd le, Péter pedig úgy döntött, hogy ő véletlenszerűen játssza ki a lapjait (alaposan megkeveri a hat kártyát, és mindig a felül lévőt küldi csatába).

c) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy az első két csatát Péter nyeri meg!

A negyedik mérkőzés előtt mindketten úgy döntöttek, hogy az egész mérkőzés során véletlenszerűen játsszák majd ki a lapjaikat. Az első három csata után Andrásnál a 3, 4, 6 számkártyák maradtak, Péternél pedig az 1, 5, 6 számkártyák.

d) Adja meg annak a valószínűségét, hogy András az utolsó három csatából pontosan kettőt nyer meg!