Egy pont akkor fekszik egy egyenesen, ha a pont koordinátái kiegyenlítik az egyenes egyenletét:

$$A\left(5;2\right): x-2y=1 \Rightarrow 5-2·2=1$$

$$B\left(-3;-2\right): x-2y=1 \Rightarrow -3-2·\left(-2\right)=1$$

A kör középpontja $C$ az $\overline{AB}$ szakasz felezőpontján van.

$$x_C=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{5+\left(-3\right)}{2}=1$$

$$y_C=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{2+\left(-2\right)}{2}=0$$

$$r=\overline{CA}=\sqrt{{\left(x_A-x_C\right)}^2+{\left(y_A-y_C\right)}^2}$$

$$r=\overline{CA}=\sqrt{{\left(5-1\right)}^2+{\left(2-0\right)}^2}$$

$$r=\overline{CA}=\sqrt{4^2+2^2}$$

$$r=\overline{CA}=\sqrt{16+4}$$

$$r=\overline{CA}=\sqrt{20}$$

A C pontban lévő r sugarú kör egyenlete:

$${\left(x-x_C\right)}^2+{\left(y-y_C\right)}^2=r^2$$

$${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-0\right)}^2=20$$

Az $f$ egyenes merőleges az $\overline{AB}$ szakaszra, ezért $f$ egy normálvektora a $\overrightarrow{BA}$ vektor.

$$\overrightarrow{BA}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$$

$$\overrightarrow{BA}=\left[5-\left(-3\right) ;2-\left(-2\right)\right]$$

$$\overrightarrow{BA}=\left(5+3 ;2+2\right)$$

Egyenes egyenlete a normálvektora $\overrightarrow{n}=\left(n_x;n_y\right)$ segítségével:

$$n_x·x+n_y·y+D=0$$

$$8x+4y+D=0$$

A $B$ pont az $f$ egyenesen fekszik, ezért a pont koordinátái kiegyenlítik az $f$ egyenes egyenletét:

$$B\left(-3;-2\right)\in f\Rightarrow 8x+4y+D=0\Rightarrow 8·\left(-3\right)+4·\left(-2\right)+D=0$$

$$-24-8+D=0$$

$$D=24+8$$

$$8x+4y+32=0$$