$$a_1=5 ; d=3$$

A számtani sorozat első n tagjának összege:

$$S_n=\frac{[2a_1+(n-1\left)d\right]·n}{2}$$

$$440=\frac{[2·5+(n-1)·3]·n}{2}$$

$$440=\frac{\left(10+3n-3\right)·n}{2}$$

$$2·440=\left(7+3n\right)·n$$

$$880=7n+3n^2$$

$$3n^2+7n-880=0$$

$$a=3 ; b=7 ; c=-880$$

$$n_1=\frac{-7+103}{6}$$

$$n_1=\frac{96}{6}$$

$$n_2=\frac{-7-103}{6}$$

$$n_2=\frac{-110}{6}=-\frac{55}{3}$$

A negatív megoldás a feladat jellegéből adódóan nem értelmezhető. Ezért:

$$a_1=5 ; q=1,2$$

A mértani sorozat első n tagjának összege:

$$S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}$$

$$500=5·\frac{1,2^n-1}{1,2-1}$$

$$\frac{500}{5}=\frac{1,2^n-1}{0,2}$$

$$100·0,2=1,2^n-1$$

$$20=1,2^n-1$$

$$20+1=1,2^n$$

$$21=1,2^n$$

$$21=1,2^n | lg\left(\right)$$

$$lg\left(21\right)=lg\left(1,2^n\right)$$

$$lg\left(21\right)=n·lg\left(1,2\right)$$

$$n=\frac{lg\left(21\right)}{lg\left(1,2\right)}$$

Ahhoz hogy az összeg elérje az 500-at azt jelenti, hogy a sorozatnak legalább 17 (az első nagyobb egész szám) tagját kell összeadni: