817/HK14. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-817 / 16. példa

A vízi élőhelyek egyik nagy problémája az algásodás. Megfelelő fény- és hőmérsékleti viszonyok mellett az algával borított terület nagysága akár 1-2 nap alatt megduplázódhat.

a) Egy kerti tóban minden nap (az előző napi mennyiséghez képest) ugyanannyi-szorosára növekedett az algával borított terület nagysága. A kezdetben 1,5 m²-en észlelhető alga hét napi növekedés után borította be teljesen a 27 m²-es tavat.
Számítsa ki, hogy naponta hányszorosára növekedett az algás terület!

Egy parkbeli szökőkút medencéjének alakja szabályos hatszög alapú egyenes hasáb.
A szabályos hatszög egy oldala 2,4 m hosszú, a medence mélysége 0,4 m. A medence alját és oldalfalait csempével burkolták, majd a medencét teljesen feltöltötték vízzel.

b) Hány m² területű a csempével burkolt felület, és legfeljebb hány liter víz fér el a medencében?

A szökőkútban hat egymás mellett, egy vonalban elhelyezett kiömlő nyíláson keresztül törhet a magasba a víz. Minden vízsugarat egy-egy színes lámpa világít meg. Mindegyik vízsugár megvilágítása háromféle színű lehet: kék, piros vagy sárga.
Az egyik látványprogram úgy változtatja a vízsugarak megvilágítását, hogy egy adott pillanatban három-három vízsugár színe azonos legyen, de mind a hat ne legyen azonos színű (például kék-sárga-sárga-kék-sárga-kék).

c) Hányféle különböző látványt nyújthat ez a program, ha a vízsugaraknak csak a színe változik?

Összes példa

Forrás: Magyarország: Közép szintű matematika érettségi [2014. május 6.] - 16..)

Összetett feladatok

A vízi élőhelyek egyik nagy problémája az algásodás. Megfelelő fény- és hőmérsékleti viszonyok mellett az algával borított terület nagysága akár 1-2 nap alatt megduplázódhat.

Ha naponta x-szeresére nőtt az algás terület, akkor:

$1, 5 \cdot x^{7} = 27$

$x^{7} = \frac{27}{1, 5}$

$x = \sqrt[7]{\frac{27}{1, 5}}$

$x \approx 1, 5$

Az algás terület naponta körülbelül az 1,5-szeresére növekedett.

b) Hány m² területű a csempével burkolt felület, és legfeljebb hány liter víz fér el a medencében?

A medence alaplapja egy 2,4 m oldalhosszúságú szabályos hatszög. A hatszög 6 egyenlő oldalú háromszögből áll ezért az alaplap területe:

$T_{1} = 6 \cdot \frac{a \cdot h}{2}$

Az egyenő oldalú háromszög magassága:

$h^{2} = a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{3 \cdot a^{2}}{4}$

$h = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2}$

$T_{1} = 6 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{2, 4^{2} \cdot \sqrt{3}}{4}$

$T_{1} \approx 14, 96 m^{2}$

A medence oldalfala 6 egyforma téglalapból áll, melyeknek összterülete:

$T_{2} = 6 \cdot a \cdot H = 6 \cdot 2, 4 \cdot 0, 4$

$T_{2} = 5, 76 m^{2}$

$T = T_{1} + T_{2} = 14, 96 + 5, 76$

$T \approx 20, 72 m^{2}$

A medence térfogata:

$V = T_{1} \cdot H = 6 \cdot \frac{2, 4^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot 0, 4$

$V \approx 5, 986 m^{3}$

Mivle 1 m³ 1000 litert tartalmaz, ezért:

$x = 5, 986 \cdot 1000$

$x = 5986 l$

c) Hányféle különböző látványt nyújthat ez a program, ha a vízsugaraknak csak a színe változik?

Vegyük például a kék és sárga színt. Ekkor a hat helyen három kék és három sárga megvilágítás lesz. 6 helyre 3 kéket a következő féleképpen választható ki:

$(\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2} = 20$

A megvilágításhoz két színt háromféleképpen választhatnak ki (kék-sárga, kék-piros, piros-sárga). Ezért az ösz különböző megvilágítások száma:

$n = 3 \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix}) = 3 \cdot 20$

$n = 60$

MathReference - Példatár