815/HK14. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-815 / 14. példa

a) Egy háromszög oldalainak hossza $5 c m$ , $7 c m$ és $8 c m$ . Mekkora a háromszög $5 c m$ -es oldalával szemközti szöge?

b) Oldja meg a $[0, 2 π]$ intervallumon a következő egyenletet: $\cos^{2} x = \frac{1}{4} (x \in ℝ)$

c) Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)!
I) Az $f : ℝ \to ℝ, f (x) = \sin x$ függvény páratlan függvény.
II) A $g : ℝ \to ℝ, g (x) = \cos 2 x$ függvény értékkészlete a $[- 2; 2]$ zárt intervallum.
III) A $h : ℝ \to ℝ, h (x) = \cos x$ függvény szigorúan monoton növekszik a $[- \frac{π}{4}; \frac{π}{4}]$ intervallumon.

Forrás: Magyarország: Közép szintű matematika érettségi [2014. május 6.] - 14..)

Összetett feladatok

a) Egy háromszög oldalainak hossza $5 c m$ , $7 c m$ és $8 c m$ . Mekkora a háromszög $5 c m$ -es oldalával szemközti szöge?

Alkalmazzuk a koszinusztételt:

$7^{2} = 5^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos α$

$49 = 25 + 64 - 80 \cdot \cos α$

$80 \cdot \cos α = 25 + 64 - 49$

$80 \cdot \cos α = 40$

$\cos α = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$

$α = 60 ° = \frac{π}{3}$

b) Oldja meg a $[0, 2 π]$ intervallumon a következő egyenletet: $\cos^{2} x = \frac{1}{4} (x \in ℝ)$

$\cos x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

$\cos x = \pm \frac{1}{2}$

$\cos x_{1} = \frac{1}{2}$

$x_{1, 1} = \frac{π}{3} = 60 °$

$x_{1, 2} = \frac{5 π}{3} = 300 °$

$\cos x_{2} = - \frac{1}{2}$

$x_{2, 1} = \frac{2 π}{3} = 120 °$

$x_{2, 2} = \frac{4 π}{3} = 240 °$

$R = \{\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}\}$

c) Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)!
I) Az $f : ℝ \to ℝ, f (x) = \sin x$ függvény páratlan függvény.
II) A $g : ℝ \to ℝ, g (x) = \cos 2 x$ függvény értékkészlete a $[- 2; 2]$ zárt intervallum.
III) A $h : ℝ \to ℝ, h (x) = \cos x$ függvény szigorúan monoton növekszik a $[- \frac{π}{4}; \frac{π}{4}]$ intervallumon.

I) Az $f : ℝ \to ℝ, f (x) = \sin x$ függvény páratlan függvény

Mivle a függvény grafikonja pont-szimmetrikus az origóra (azaz az origó körüli 180 fokos forgatással helybenhagyja a pontokat), az I) állítás:

IGAZ

II) A $g : ℝ \to ℝ, g (x) = \cos 2 x$ függvény értékkészlete a $[- 2; 2]$ zárt intervallum

A függvény értékkészlete: [-1,1] ezért a II) állítás:

HAMIS

III) A $h : ℝ \to ℝ, h (x) = \cos x$ függvény szigorúan monoton növekszik a $[- \frac{π}{4}; \frac{π}{4}]$ intervallumon.

A függvény grafikonja alapján a III) állítás:

HAMIS

I) IGAZ
II) HAMIS
III) HAMIS