András és Péter „számkártyázik” egymással. A játék kezdetén mindkét fiúnál hat-hat lap van: az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számkártya. Egy mérkőzés hat csata megvívását jelenti, egy csata pedig abból áll, hogy András és Péter egyszerre helyez el az asztalon egy-egy számkártyát. A csatát az nyeri, aki a nagyobb értékű kártyát tette le. A nyertes elviszi mindkét kijátszott lapot. (Például ha András a 4-est, Péter a 2-est teszi le, akkor András viszi el ezt a két lapot.) Ha ugyanaz a szám szerepel a két kijátszott számkártyán, akkor a csata döntetlenre végződik. Ekkor mindketten egy-egy kártyát visznek el. Az elvitt kártyákat a játékosok maguk előtt helyezik el, ezeket a továbbiakban már nem játsszák ki.
a) Hány kártya van Péter előtt az első mérkőzés után, ha András az 1, 2, 3, 4, 5, 6, Péter pedig a 2, 4, 5, 3, 1, 6 sorrendben játszotta ki a lapjait?
A második mérkőzés során Péter az 1, 2, 3, 4, 5, 6 sorrendben játszotta ki a lapjait, és így összesen két lapot vitt el.
b) Adjon meg egy lehetséges sorrendet, amelyben András kijátszhatta lapjait!
A harmadik mérkőzés hat csatája előtt András elhatározta, hogy az első csatában a 2-es, a másodikban a 3-as számkártyát teszi majd le, Péter pedig úgy döntött, hogy ő véletlenszerűen játssza ki a lapjait (alaposan megkeveri a hat kártyát, és mindig a felül lévőt küldi csatába).
c) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy az első két csatát Péter nyeri meg!
A negyedik mérkőzés előtt mindketten úgy döntöttek, hogy az egész mérkőzés során véletlenszerűen játsszák majd ki a lapjaikat. Az első három csata után Andrásnál a 3, 4, 6 számkártyák maradtak, Péternél pedig az 1, 5, 6 számkártyák.
d) Adja meg annak a valószínűségét, hogy András az utolsó három csatából pontosan kettőt nyer meg!
András és Péter „számkártyázik” egymással. A játék kezdetén mindkét fiúnál hat-hat lap van: az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számkártya. Egy mérkőzés hat csata megvívását jelenti, egy csata pedig abból áll, hogy András és Péter egyszerre helyez el az asztalon egy-egy számkártyát. A csatát az nyeri, aki a nagyobb értékű kártyát tette le. A nyertes elviszi mindkét kijátszott lapot. (Például ha András a 4-est, Péter a 2-est teszi le, akkor András viszi el ezt a két lapot.) Ha ugyanaz a szám szerepel a két kijátszott számkártyán, akkor a csata döntetlenre végződik. Ekkor mindketten egy-egy kártyát visznek el. Az elvitt kártyákat a játékosok maguk előtt helyezik el, ezeket a továbbiakban már nem játsszák ki.
a) Hány kártya van Péter előtt az első mérkőzés után, ha András az 1, 2, 3, 4, 5, 6, Péter pedig a 2, 4, 5, 3, 1, 6 sorrendben játszotta ki a lapjait?
| András | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Péter | 2 | 4 | 5 | 3 | 1 | 6 |
Péter megnyert három csatát (kettőt elvesztett), egy csata pedig döntetlenre végződött:
Péter előtt összesen 7 kártya van az első mérkőzés után
A második mérkőzés során Péter az 1, 2, 3, 4, 5, 6 sorrendben játszotta ki a lapjait, és így összesen két lapot vitt el.
b) Adjon meg egy lehetséges sorrendet, amelyben András kijátszhatta lapjait!
András lapjainak (egyetlen lehetséges) sorrendje:
| András | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 1 |
| Péter | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
A harmadik mérkőzés hat csatája előtt András elhatározta, hogy az első csatában a 2-es, a másodikban a 3-as számkártyát teszi majd le, Péter pedig úgy döntött, hogy ő véletlenszerűen játssza ki a lapjait (alaposan megkeveri a hat kártyát, és mindig a felül lévőt küldi csatába).
c) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy az első két csatát Péter nyeri meg!
Az összes lehetséges esate száma, azaz ahogyan Péter az első két lapot le tudja tenni (az első lapot 6 lap közül választhatja, míg a másodikat már csak 5 lap közül):
Ezek közül a következő esetekben viszi el András első két lapját:
A kedvező esetek száma:
A negyedik mérkőzés előtt mindketten úgy döntöttek, hogy az egész mérkőzés során véletlenszerűen játsszák majd ki a lapjaikat. Az első három csata után Andrásnál a 3, 4, 6 számkártyák maradtak, Péternél pedig az 1, 5, 6 számkártyák.
d) Adja meg annak a valószínűségét, hogy András az utolsó három csatából pontosan kettőt nyer meg!
Az összes lehetséges csata száma ezekkel a lapokkal:
András akkor nyer pontosan kettőt, ha (valamilyen sorrendben):
vagy:
A kedvező esetek száma ezek szerint:
