818/HK14. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-818 / 17. példa

Kóstolóval egybekötött termékbemutatót tartottak egy új kávékeverék piaci megjelenését megelőzően. Két csoport véleményét kérték úgy, hogy a terméket az 1-től 10-ig terjedő skálán mindenkinek egy-egy egész számmal kellett értékelnie. Mindkét csoport létszáma 20 fő volt. A csoportok értékelése az alábbi táblázatban látható.

pontszám	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
gyakoriság az 1. csoportban	0	0	1	0	6	8	2	2	1	0
gyakoriság az 1. csoportban	0	8	0	2	0	1	0	0	0	9

a) Ábrázolja közös oszlopdiagramon, különböző jelölésű oszlopokkal a két csoport pontszámait! A diagramok alapján fogalmazzon meg véleményt arra vonatkozóan, hogy melyik csoportban volt nagyobb a pontszámok szórása! Véleményét a diagramok alapján indokolja is!

b) Hasonlítsa össze a két csoport pontszámainak szórását számítások segítségével is!

Kétféle kávéból 14 kg 4600 Ft/kg egységárú kávékeveréket állítanak elő. Az olcsóbb kávéfajta egységára 4500 Ft/kg, a drágábbé pedig 5000 Ft/kg. darab

c) Hány kilogramm szükséges az egyik, illetve a másik fajta kávéból?

Összes példa

Forrás: Magyarország: Közép szintű matematika érettségi [2014. május 6.] - 17..)

Összetett feladatok

Az első csoporthoz tartozó diagramon a nagy magasságú piros oszlopok (az átlaghoz közel) középen vannak, a
második csoport kék oszlopai pedig a diagram két szélén.
Ez azt jelenti, hogy a második esetben nagyobb a szórás.

b) Hasonlítsa össze a két csoport pontszámainak szórását számítások segítségével is!

Az első csoport átlaga:

$\bar{x} = \frac{0 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 0 \cdot 4 + 6 \cdot 5 + 8 \cdot 6 + 2 \cdot 7 + 2 \cdot 8 + 1 \cdot 9 + 0 \cdot 10}{1 + 6 + 8 + 2 + 2 + 1} = \frac{120}{20}$

$\bar{x} = 6$

A második csoport átlaga:

$\bar{y} = \frac{0 \cdot 1 + 8 \cdot 2 + 0 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 0 \cdot 5 + 1 \cdot 6 + 0 \cdot 7 + 0 \cdot 8 + 0 \cdot 9 + 9 \cdot 10}{8 + 2 + 1 + 9} = \frac{120}{20}$

$\bar{y} = 6$

A szórás kiszámítható az alábbi képlettel:

$σ_{x} = \sqrt{\frac{{(x_{1} - x)}^{2} + {(x_{2} - x)}^{2} + \dots + {(x_{n} - x)}^{2}}{n}}$

$σ_{x} = \sqrt{\frac{1 \cdot {(3 - 6)}^{2} + 6 \cdot {(5 - 6)}^{2} + 8 \cdot {(6 - 6)}^{2} + 2 \cdot {(7 - 6)}^{2} + 2 \cdot {(8 - 6)}^{2} + 1 \cdot {(9 - 6)}^{2}}{20}}$

$σ_{x} = \sqrt{\frac{1 \cdot 3^{2} + 6 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 3^{2}}{20}}$

$σ_{x} = \sqrt{\frac{1 \cdot 9 + 6 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 1 \cdot 9}{20}}$

$σ_{x} = \sqrt{\frac{9 + 6 + 2 + 8 + 9}{20}}$

$σ_{x} = \sqrt{\frac{34}{20}}$

$σ_{x} \approx 1, 304$

$σ_{y} = \sqrt{\frac{8 \cdot {(2 - 6)}^{2} + 2 \cdot {(4 - 6)}^{2} + 1 \cdot {(6 - 6)}^{2} + 9 \cdot {(10 - 6)}^{2}}{20}}$

$σ_{y} = \sqrt{\frac{8 \cdot 4^{2} + 2 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 4^{2}}{20}}$

$σ_{y} = \sqrt{\frac{8 \cdot 16 + 2 \cdot 4 + 9 \cdot 16}{20}}$

$σ_{y} = \sqrt{\frac{280}{20}}$

$σ_{y} = \sqrt{14}$

$σ_{y} \approx 3, 742$

A 2. csoport pontszámainak szórása lényegesen nagyobb:

$σ_{x} \approx 1, 303 < σ_{y} \approx 3, 742$

Kétféle kávéból 14 kg 4600 Ft/kg egységárú kávékeveréket állítanak elő. Az olcsóbb kávéfajta egységára 4500 Ft/kg, a drágábbé pedig 5000 Ft/kg. darab

c) Hány kilogramm szükséges az egyik, illetve a másik fajta kávéból?

Az olcsóbb fajtából $x k g$ - ot, a másikból $(14 - x) k g$ - ot veszünk.

A feladat szövege alapján felírható egyenlet:

$x \cdot 4500 + (14 - x) \cdot 5000 = 14 \cdot 4600$

$4500 \cdot x - 5000 \cdot x + 70000 = 64400$

$- 500 \cdot x = 64400 - 70000$

$- 500 \cdot x = - 5600 | \cdot (- 1)$

$500 \cdot x = 5600$

$x = \frac{5600}{500}$

$x = 11, 2$

Az olcsóbb fajtából 11,2 kg, a drágább fajtából 2,8 kg szükséges a keverékhez.

MathReference - Példatár