Matematematika képletek

Magyarország: Közép szintű matematika érettségi [2019. május 7.]

Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Egy háromszög belső szögeinek aránya 2 : 3 : 7. Hány fokos a háromszög legkisebb szöge?

Egy üdítőital címkéjén az olvasható, hogy egy pohár (250 ml) üdítő elfogyasztásával 12 g cukrot viszünk a szervezetünkbe, és ez a mennyiség az ajánlott napi maximális cukorbevitel 30%-a. Hány gramm az ajánlott napi maximális cukorbevitel?

MR-748 / 4.

Adottak a következő halmazok:

$A = \{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19\}$

$B = \{1; 4; 7; 10; 13; 16; 19\}$

$C = \{1; 2; 3; 5; 8; 13\}$

Elemei felsorolásával adja meg a $C ∖ A$ és az $(A \cup B) \cap C$ halmazt!

MR-749 / 5.

Egy ötpontú gráfnak 7 éle van. Mennyi a gráfban a csúcsok fokszámának összege?

MR-750 / 6.

Négy gombóc fagylaltot vásárolunk tölcsérbe: egy csokoládét, egy vaníliát, egy puncsot és egy eperízűt. Hányféle olyan sorrendje lehetséges ennek a négy gombócnak, amelynél nem a csokoládé a legalsó?

MR-752 / 7.

Az ABCDEF szabályos hatszögben $b = \vec{A B}$ és $f = \vec{A F}$ .
Fejezze ki a b és f vektorok segítségével az AD vektort!

MR-753 / 8.

Az alábbi hat szám közül válassza ki az összes olyan számot, amely osztható 3-mal, de nem osztható 5-tel!

895, 1222, 1458, 1526, 1848, 1990

MR-754 / 9.

Egy középület akadálymentesítésekor a bejárathoz egyenletesenemelkedő rámpát építenek, hogy kerekesszékkel és babakocsival is belehessen jutni az épületbe. A rámpa hossza 3 méter, és a járda szintjé-től 60 centiméter magasra visz. Hány fokos a rámpa emelkedési szöge? Megoldását részletezze!zintjé- től 60 centiméter magasra visz. Hány fokos a rámpa emelkedési szöge? Megoldását részletezze!

MR-755 / 10.

Az f egyenes egyenlete 2x – y = 5.

a) Adja meg az f egy normálvektorát!

b) Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely párhuzamos az f egyenessel, és átmegy a (2; 1) ponton!

MR-756 / 11.

Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja −12.
Számítsa ki a sorozat első tíz tagjának összegét! Megoldását részletezze!

MR-757 / 12.

Az alábbi táblázat egy biológiadolgozat eredményeit mutatja. Adja meg az adathalmaz móduszát és mediánját!

érdemjegy	1 (elégtelen)	2 (elégséges)	3 (közepes)	4 (jó)	5 (jeles)
dolgozatok száma	0	1	3	5	6

MR-758 / 13.

a) Hány olyan háromjegyű egész szám van, amelyre igaz az alábbi egyenlőtlenség?

$\frac{x}{3} + \frac{x}{6} \geq \frac{x}{4} + 230$

b) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!

$3 \cdot 4^{x} + 4^{x + 1} = 896$

MR-759 / 13.

Adott az $f : ℝ \to ℝ, f (x) = x^{2} + 4 x + 3$ függvény.

a) Írja fel két elsőfokú tényező szorzataként az $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ kifejezést!

b) A $P (- 6, 5; y)$ pont illeszkedik az $f$ grafikonjára. Számítsa ki $y$ értékét!

c) Az alábbi grafikonok közül válassza ki az $f$ függvény grafikonját (karikázza be a meg- felelő betűt), és határozza meg az $f$ értékkészletét!

Adott a $g : ℝ \to ℝ, g (x) = x^{2} - 6 x + 5$ függvény. Az a három pont, ahol a $g$ grafikonja metszi a koordinátatengelyeket, egy háromszöget határoz meg.
d) Határozza meg ennek a háromszögnek a területét!

MR-760 / 15.

Az ABCD négyzet oldalának hossza 12 egység. A négyzet belsejében kijelöltük az E pontot úgy, hogy BE = CE = 12 egység legyen (lásd az ábrát).

a) Számítsa ki az A és E pontok távolságát!

Egy bronzból készült, szabályos négyoldalú gúla alakú tömör test (piramis) minden éle 10 cm hosszúságú.

b) Számítsa ki a gúla tömegét, ha 1 dm³ bronz tömege 8 kg!

MR-761 / 16.

Péter elhatározza, hogy összegyűjt 3,5 millió Ft-ot egy használt elektromos autó vásárlására, mégpedig úgy, hogy havonta egyre több pénzt tesz félre a takarékszámláján. Az első hónapban 50 000 Ft-ot tesz félre, majd minden hónapban 1000 Ft-tal többet, mint az azt megelőző hónapban. (A számlán gyűjtött összeg kamatozásával Péter nem számol.)

a) Össze tud-e így gyűjteni Péter 4 év alatt 3,5 millió forintot?

A világon gyártott elektromos autók számának 2012 és 2017 közötti alakulását az alábbi táblázat mutatja.

év	2012	2013	2014	2015	2016	2017
elektromos autók száma (ezerre kerekítve)	110 000	221 000	409 000	727 000	1 186 000	1 928 000

b) Szemléltesse a táblázat adatait oszlopdiagramon!

Péter az előző táblázat adatai alapján olyan matematikai modellt alkotott, amely az elektromos autók számát exponenciálisan növekedőnek tekinti. E szerint, ha a 2012 óta eltelt évek száma x, akkor az elektromos autók számát (millió darabra) megközelítőleg az $f (x) = 0, 122 \cdot 2^{0, 822 \cdot x}$ összefüggés adja meg.

c) A modell alapján számolva melyik évben érheti el az elektromos autók száma a 25 millió darabot?

Egy elektromos autókat gyártó cég öt különböző típusú autót gyárt. A készülő reklámfüzet fedőlapjára az ötféle típus közül egy vagy több (akár mind az öt) autótípus képét szeretné elhelyezni a grafikus.

d) Hány lehetőség közül választhat a tervezés során? (Két lehetőség különböző, ha az egyikben szerepel olyan autótípus, amely a másikban nem.)

MR-762 / 17.

A Föld teljes vízkészlete (jég, víz és vízgőz) folyékony halmazállapotban közel 1400 millió km³ lenne. Ennek a vízkészletnek csupán 3%-a édesvíz, melynek valójában mindössze 20%-a folyékony halmazállapotú (a többi főleg a sarkvidék jégtakarójában található fagyott, szilárd állapotban).

a) Számítsa ki, hogy hány kilométer lenne annak a legkisebb gömbnek a sugara, amelybe összegyűjthetnénk a Föld folyékony édesvízkészletét! Válaszát egész kilométerre kerekítve adja meg!

Az ábrán egy környezetvédő szervezet logójának ki nem színezett terve látható. A logó kilenc tartományát három színnel (sárga, kék és zöld) szeretnénk kiszínezni úgy, hogy a szomszédos tartományok különböző színűek legyenek. (Két tartomány szomszédos, ha a határvonalaiknak van közös pontja. Egy-egy tartomány színezéséhez egy színt használhatunk.)

b) Hányféleképpen lehet a logót a feltételeknek megfelelően kiszínezni?

Egy iskolai italautomata meghibásodott, és véletlenszerűen ad szénsavas, illetve szénsavmentes vizet. A diákok tapasztalata szerint, ha valaki szénsavmentes vizet kér, akkor csak
0,8 a valószínűsége annak, hogy valóban szénsavmentes vizet kap. Anna a hét mind az öt munkanapján egy-egy szénsavmentes vizet szeretne vásárolni az automatából, így minden nap az ennek megfelelő gombot nyomja meg.

c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább négy napon valóban szénsavmentes vizet ad az automata?

MR-763 / 18.

Az ábrán egy kis múzeum alaprajzát látjuk. A múzeum termei közötti kapcsolatot gráffal is szemléltethetjük.
A gráf pontjai a termek, élei pedig az átjárók a termek között. (Egy él egy átjárót szemléltet két terem között.)

a) Rajzolja fel a múzeum termeit és átjáróit szemléltető gráfot!

A múzeumba háromféle belépőjegyet lehet váltani:

Teljes árú jegy	400 Ft
Kedvezményes jegy (gyerek, diák, pedagógus, nyugdíjas)	250 Ft
Fotójegy (belépőjegy és fényképezőgép-használat)	500 Ft

Januárban négyszer annyi kedvezményes belépőjegyet adtak el, mint teljes árú jegyet, továbbá az eladott fotójegyek száma az eladott teljes árú jegyek számának 12,5%-a volt.
A múzeum belépőjegy-eladásból származó bevétele januárban 912 600 Ft volt.

b) Hány belépőjegyet adtak el januárban összesen?

Csilla, Dezső, Emese, Feri és Gyöngyi délelőtt 10-re beszéltek meg találkozót a múzeum előtt. Sorban egymás után érkeznek (különböző időpontokban), véletlenszerűen.

c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy legfeljebb egy lánynak kell várakoznia fiúra?

A kiállításon több gondolkodtató, minimalista kép is szerepel. Dezső szerint az ábrán látható, csatlakozó félköröket ábrázoló kép címe azért „Egyenlőség”, mert a felső és az alsó görbe vonal
hossza egyenlő. A felső görbét alkotó két egyforma félkör átmérőjének összege 48 cm. Az alsó görbét alkotó két félkör átmérőjének összege szintén 48 cm.

d) Igaz-e Dezső sejtése, hogy a két görbe vonal hossza egyenlő?