759/HK19. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-759 / 13. példa

Adott az $f : ℝ \to ℝ, f (x) = x^{2} + 4 x + 3$ függvény.

a) Írja fel két elsőfokú tényező szorzataként az $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ kifejezést!

b) A $P (- 6, 5; y)$ pont illeszkedik az $f$ grafikonjára. Számítsa ki $y$ értékét!

c) Az alábbi grafikonok közül válassza ki az $f$ függvény grafikonját (karikázza be a meg- felelő betűt), és határozza meg az $f$ értékkészletét!

Adott a $g : ℝ \to ℝ, g (x) = x^{2} - 6 x + 5$ függvény. Az a három pont, ahol a $g$ grafikonja metszi a koordinátatengelyeket, egy háromszöget határoz meg.
d) Határozza meg ennek a háromszögnek a területét!

Összes példa

Forrás: Magyarország: Közép szintű matematika érettségi [2019. május 7.] - 13..)

Algebra → Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek és egyenletrendszerek → Másodfokú egyenletek

a) Írja fel két elsőfokú tényező szorzataként az $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ kifejezést!

$x^{2} + 4 x + 3 = 0$

$a = 1; b = 4; c = 3$

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$= \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

$= \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

$= \frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

$= \frac{- 4 \pm 2}{2}$

$x_{1} = \frac{- 4 + 2}{2} = \frac{- 2}{2}$

$x_{1} = - 1$

$x_{1} = \frac{- 4 - 2}{2} = \frac{- 6}{2}$

$x_{2} = - 3$

$x^{2} + 4 x + 3 = (x + 1) (x + 3) = 0$

b) A $P (- 6, 5; y)$ pont illeszkedik az $f$ grafikonjára. Számítsa ki $y$ értékét!

$y = {(- 6, 5)}^{2} + 4 \cdot (- 6, 5) + 3$

$y = 19, 25$

c) Az alábbi grafikonok közül válassza ki az $f$ függvény grafikonját (karikázza be a meg- felelő betűt), és határozza meg az $f$ értékkészletét!

A függvény nullája -3 és -1. Ez alapján a megoldás C vagy D.

$y (- 2) = {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 3$

$y (- 2) = 4 - 8 + 3$

$y (- 2) = - 1$

Ez alapján a megoldás: $D$

A $g$ függvény és az $x$ tengely metszéspontjai meghatározhatók az alábbi egyenlet megoldásával:

$x^{2} - 6 x + 5 = 0$

$a = 1; b = - 6; c = 5$

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x_{1, 2} = \frac{- (- 6) \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

$= \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

$= \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}$

$= \frac{6 \pm 4}{2}$

$x_{1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2}$

$x_{1} = 5$

$x_{2} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2}$

$x_{2} = 1$

A $g$ függvény és az $y$ tengely metszéspontja a függvény értéke az $x = 0$ pontban:

$y (0) = 0^{2} - 6 \cdot 0 + 5$

$y (0) = 5$

$T = \frac{a \cdot h}{2}$

$T = \frac{4 \cdot 5}{2}$

$T = 10$

MathReference - Példatár