763/HK19. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-763 / 18. példa

Az ábrán egy kis múzeum alaprajzát látjuk. A múzeum termei közötti kapcsolatot gráffal is szemléltethetjük.
A gráf pontjai a termek, élei pedig az átjárók a termek között. (Egy él egy átjárót szemléltet két terem között.)

a) Rajzolja fel a múzeum termeit és átjáróit szemléltető gráfot!

A múzeumba háromféle belépőjegyet lehet váltani:

Teljes árú jegy	400 Ft
Kedvezményes jegy (gyerek, diák, pedagógus, nyugdíjas)	250 Ft
Fotójegy (belépőjegy és fényképezőgép-használat)	500 Ft

Januárban négyszer annyi kedvezményes belépőjegyet adtak el, mint teljes árú jegyet, továbbá az eladott fotójegyek száma az eladott teljes árú jegyek számának 12,5%-a volt.
A múzeum belépőjegy-eladásból származó bevétele januárban 912 600 Ft volt.

b) Hány belépőjegyet adtak el januárban összesen?

Csilla, Dezső, Emese, Feri és Gyöngyi délelőtt 10-re beszéltek meg találkozót a múzeum előtt. Sorban egymás után érkeznek (különböző időpontokban), véletlenszerűen.

c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy legfeljebb egy lánynak kell várakoznia fiúra?

A kiállításon több gondolkodtató, minimalista kép is szerepel. Dezső szerint az ábrán látható, csatlakozó félköröket ábrázoló kép címe azért „Egyenlőség”, mert a felső és az alsó görbe vonal
hossza egyenlő. A felső görbét alkotó két egyforma félkör átmérőjének összege 48 cm. Az alsó görbét alkotó két félkör átmérőjének összege szintén 48 cm.

d) Igaz-e Dezső sejtése, hogy a két görbe vonal hossza egyenlő?

Összes példa

Forrás: Magyarország: Közép szintű matematika érettségi [2019. május 7.] - 18..)

Összetett feladatok

a) Rajzolja fel a múzeum termeit és átjáróit szemléltető gráfot!

A múzeumba háromféle belépőjegyet lehet váltani:

Teljes árú jegy	400 Ft
Kedvezményes jegy (gyerek, diák, pedagógus, nyugdíjas)	250 Ft
Fotójegy (belépőjegy és fényképezőgép-használat)	500 Ft

b) Hány belépőjegyet adtak el januárban összesen?

A januárban eladott teljes árú jegyek számát x-el jelölve:

$4 \cdot x \cdot 250 + x \cdot 400 + 0, 125 \cdot x \cdot 500 = 912 600$

$x \cdot (4 \cdot 250 + 400 + 0, 125 \cdot 500) = 912 600$

$x \cdot 1462, 5 = 912 600$

$x = 624$

$n = 4 \cdot x + x + 0, 125 \cdot x$

$n = 4 \cdot 624 + 624 + 0, 125 \cdot 624$

$n = 3198$

Csilla, Dezső, Emese, Feri és Gyöngyi délelőtt 10-re beszéltek meg találkozót a múzeum előtt. Sorban egymás után érkeznek (különböző időpontokban), véletlenszerűen.

c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy legfeljebb egy lánynak kell várakoznia fiúra?

Öt fő érkezésének sorrendje 5 elem ismétlés nélküli permutációja:

$n = P_{5} = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

$n = 120$

A legfeljebb egy lánynak kell fiúra várni annyit jelent hogy egyik lány sem vár, vagy csak az egyik lány vár fiúra.

Ha legfeljebb egy lánynak kell fiúra várnia, akkor a két fiú 3 féle képpen érkezhet:

vagy az első két érkező: FFLLL (egy lány sem vár)
vagy az első és a harmadik: FLFLL (egy lány sem vár)
vagy a második és a harmadik érkező lehet: LFFLL (egy lány vár)

A két fiú minden ilyen esetben 2-féle sorrendben érkezhetnek.

A három lány érkezési sorrendje (3 elem ismétlés nélküli permutációaj) 3! = 6-féleképpen érkezhetnek.

Az összes kedvező eset száma eszerint:

$m = 3 \cdot 2 \cdot 6$

$m = 36$

A kédéses valószínűség a kedvező esetek és az ösz eset számának hányadosa:

$P (A) = \frac{m}{n} = \frac{36}{120}$

$P (A) = 0, 3$

d) Igaz-e Dezső sejtése, hogy a két görbe vonal hossza egyenlő?

$2 d = 48$

$d = \frac{48}{2}$

$d = 24$

$r = \frac{d}{2} = \frac{24}{2}$

$r = 12$

A két egyforma félkör ívének hossza:

$l_{1} = 2 \cdot (\frac{2 \cdot r \cdot π}{2}) = 2 \cdot r \cdot π = 2 \cdot 12 \cdot π$

$l_{1} = 24 π$

Az alsó két félkör esetén:

$2 \cdot r_{1} + 2 \cdot r_{2} = 48$

$2 \cdot (r_{1} + r_{2}) = 48$

$r_{1} + r_{2} = \frac{48}{2}$

$r_{1} + r_{2} = 24$

$r_{1} = 24 - r_{2}$

$l_{2} = r_{1} \cdot π + r_{2} \cdot π$

$l_{2} = (24 - r_{2}) \cdot π + r_{2} \cdot π$

$l_{2} = 24 \cdot π - r_{2} \cdot π + r_{2} \cdot π$

$l_{2} = 24 \cdot π$

$l_{1} = l_{2} = 24 π$

IGAZ

MathReference - Példatár