MR-761 / 16. példa

Péter elhatározza, hogy összegyűjt 3,5 millió Ft-ot egy használt elektromos autó vásárlására, mégpedig úgy, hogy havonta egyre több pénzt tesz félre a takarékszámláján. Az első hónapban 50 000 Ft-ot tesz félre, majd minden hónapban 1000 Ft-tal többet, mint az azt megelőző hónapban. (A számlán gyűjtött összeg kamatozásával Péter nem számol.)

a) Össze tud-e így gyűjteni Péter 4 év alatt 3,5 millió forintot?

A világon gyártott elektromos autók számának 2012 és 2017 közötti alakulását az alábbi táblázat mutatja.

év 2012 2013 2014 2015 2016 2017
elektromos autók száma (ezerre kerekítve) 110 000 221 000 409 000 727 000 1 186 000 1 928 000

b) Szemléltesse a táblázat adatait oszlopdiagramon!

Péter az előző táblázat adatai alapján olyan matematikai modellt alkotott, amely az elektromos autók számát exponenciálisan növekedőnek tekinti. E szerint, ha a 2012 óta eltelt évek száma x, akkor az elektromos autók számát (millió darabra) megközelítőleg az fx= 0,122  20,822·x összefüggés adja meg.

c) A modell alapján számolva melyik évben érheti el az elektromos autók száma a 25 millió darabot?

Egy elektromos autókat gyártó cég öt különböző típusú autót gyárt. A készülő reklámfüzet fedőlapjára az ötféle típus közül egy vagy több (akár mind az öt) autótípus képét szeretné elhelyezni a grafikus.

d) Hány lehetőség közül választhat a tervezés során? (Két lehetőség különböző, ha az egyikben szerepel olyan autótípus, amely a másikban nem.)

a) Össze tud-e így gyűjteni Péter 4 év alatt 3,5 millió forintot?

Az egyes hónapokban félretett összegek egy számtani sorozat egymást követő tagjai, az első tag a1=50000, a differencia d=1000

4 év = 48 hónap

Valójában a sorozat első 48 tagjának az összegét kell meghatározni.

S48=2a1+48-1d·482

S48=2·50000+48-1·1000·482

S48=3 528 000

4 év elegendő 3,5 millió Ft összegyűjtésére

A világon gyártott elektromos autók számának 2012 és 2017 közötti alakulását az alábbi táblázat mutatja.

év 2012 2013 2014 2015 2016 2017
elektromos autók száma (ezerre kerekítve) 110 000 221 000 409 000 727 000 1 186 000 1 928 000

b) Szemléltesse a táblázat adatait oszlopdiagramon!

Péter az előző táblázat adatai alapján olyan matematikai modellt alkotott, amely az elektromos autók számát exponenciálisan növekedőnek tekinti. E szerint, ha a 2012 óta eltelt évek száma x, akkor az elektromos autók számát (millió darabra) megközelítőleg az fx= 0,122  20,822·x összefüggés adja meg.

c) A modell alapján számolva melyik évben érheti el az elektromos autók száma a 25 millió darabot?

0,122  20,822·x=25

20,822·x=250,122 

20,822·x=250,122  | lg

lg20,822·x=lg250,122 

0,822·x·lg2=lg250,122 

x=lg250,1220,822·lg2 

x9,34

A modell szerint az elektromos autók száma (2012 + 10 =) 2022-ben éri el a 25 milliót.

Egy elektromos autókat gyártó cég öt különböző típusú autót gyárt. A készülő reklámfüzet fedőlapjára az ötféle típus közül egy vagy több (akár mind az öt) autótípus képét szeretné elhelyezni a grafikus.

d) Hány lehetőség közül választhat a tervezés során? (Két lehetőség különböző, ha az egyikben szerepel olyan autótípus, amely a másikban nem.)

Tipusonkénti  választási lehetőségek számai a követekzők:

1 féle tipus: 51=5

2 féle tipus: 52=5·42=10

3 féle tipus: 53=5·4·33!=5·4·33·2·1=10

4 féle tipus: 54=5·4·3·24!=5

5 féle tipus: 55=1

Az összes választási lehetősegek száma ezek összege:

n=5+10+10+5+1

n=31