Relacije i njihove osobine

Definicija

A^{2} = A \times A = \{(a, b) : a \in A, b \in A\}

ρ \subseteq A^{2}

Relacija ρ je podskup skupa AxA Dekartovog (kvadrata) proizvoda.

Primer:

A = \{1, 3, 6\}

A x A = \{(1, 1), (1, 3), (1, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 6)\}

ρ = {(1, 1), (1, 3), (1, 6), (3, 3), (3, 6), (6, 6)} | ρ \subseteq A^{2},

U ovom slučaju relacija ρ manje ili jednako ≤izgleda ovako: (1≤1), (1≤3), (1≤6), (3≤3), (3≤6), (6≤6).

(\forall a \in A) : a ρ a

PREKO USMERENIH GRAFOVA: u svakom čvoru grafa postoji petlja.

Primer:ρ refleksivan, jer za bilo koji član relacije iz skupa A važi $(1 \leq 1), (3 \leq 3), (6 \leq 6)$

(\forall a, b \in A) : a ρ b \Rightarrow b ρ a

PREKO USMERENIH GRAFOVA: ako je svaka grana grafa dvosmerna.

Primer:ρ nije simetričan, zato što da je 3 ≤ 6 [odnosno (3, 6) ∈ ρ], nem proizlazi da je i 6 ≤ 3 [odnosno (6, 3) ∈ ρ].

(\forall a, b, c \in A) : a ρ b \land b ρ c \Rightarrow a ρ c

PREKO USMERENIH GRAFOVA: ako postoji put između dva čvora, onda postoji i duži put.

Példa:ρ je tranzitívan, jer akoj je 1 ≤ 3 i 3 ≤ 6 onda iz ovog sledi da je i 1 ≤ 6.

(\forall a, b \in A) : (a ρ b \land b ρ a) \Rightarrow a = b

PREKO USMERENIH GRAFOVA: ha bármely két különböz® pont között 0 vagy 1 irányban megy él.

Primer:ρ antisimetričan, jer je svaki broj je manji ili jednak od samog sebe.

Relacija ekvivalencije: reflleksivna, simetrična i tranzitivna
Relacija poretka: reflleksivna, antisimetrična i tranzitivna
Relacija strogog poretka: za bilo koji od a, b ∈ A važi da (a, b) ∈ ρ ili (b, a) ∈ ρ
PREKO USMERENIH GRAFOVA: postoji linija između svih čvorova.
Linearna ili totalna relacija:, relacija poretka i relacija strogog poretka

Ključne reči: relacija, osobine relacija, refleksivnost, simetričnost, tranzitivnost, antisimetričnost,