Magyarország: Emelt szintű matematika érettségi [2025 május 6.]

Matematematika képletek

Egy cipőboltban novemberben három pár cipő összesen 45 000 Ft-ba került. Egy karácsonyi akció keretében, ha valaki három pár cipőt egyszerre vásárolt, akkor a legolcsóbbat 50%, a második legolcsóbbat pedig 20% kedvezménnyel vehette meg (a legdrágább cipőre nem járt kedvezmény). Ebben az akcióban ugyanezért a három pár cipőért így öszszesen már csak 37 000 Ft-ot kellett fizetni.
Karácsony elmúltával az akció véget ért, és a legolcsóbb cipő árát – a novemberi árához képest – 30%-kal megemelték, így a három pár cipő ekkor összesen 48 000 Ft-ba került.

a) Határozza meg mindhárom pár cipő novemberi árát!

Négy szám közül az első három szám egy számtani, az utolsó három szám pedig egy mértani sorozat egymást követő három tagja. Az első szám a 3, a negyedik szám a 25.

b) Határozza meg a másik két számot!

MR-908 / 2.

Egy kis szigeten élő állatfajok populációinak egyedszámát egy modell szerint (jó közelítéssel) a következő képlet adja meg:

$P (t) = \frac{E}{1 + k \cdot 2^{- c t}}$

A képletben $P (t)$ az adott faj pulációjának egyedszáma a vizsgálat kezdetétől számított t év elteltével, $E$ , $k$ és $c$ pedig az adott faj populációjára jellemző pozitív állandók: $E$ a sziget eltartóképessége (a becsült maximális egyedszám, amit a sziget el tud tartani), $k$ a populáció kezdeti méretétől, $c$ pedig a populáció növekedési sebességétől függő állandó.

a) Egy emlősfajra jellemző állandók értéke $k = 1, 5$ és $c = 0, 05$ . Tudjuk, hogy a vizsgálat kezdetétől számított $8$ év elteltével $140$ egyedből áll a faj populációja.
Határozza meg a szigetnek az erre az emlősfajra jellemző eltartóképességét!

b) Egy rágcsálófaj esetén a sziget eltartóképessége $1500$ egyed.
Határozza meg az erre a populációra jellemző $k$ és c állandók értékét, ha a vizsgálat kezdetekor $200$ , öt évvel később pedig $350$ egyedből állt a populáció!

c) Igazolja, hogy egy populáció $P (t)$ egyedszáma a modell szerint soha nem haladhatja meg a sziget (adott populációra jellemző) eltartóképességét!

MR-909 / 3.

Az $\{a_{n}\}$ sorozat tagjaira $n \geq 2$ esetén az $a_{n} = a_{n - 1} + n$ összefüggés teljesül. Egy négyszög belső szögei (fokban mérve) $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ és $a_{4}$ .
a) Határozza meg a négyszög belső szögeinek nagyságát!

Az $A B C D$ négyszög oldalai, átlói és szögei közül ismertek a következők:

$A B = 18 c m, A D = 15 c m, A C = 20 c m, D A B ∢ = 90 °, A B C ∢ = 70 °$ .

b) Határozza meg a négyszög $B C$ és $C D$ oldalának hosszát!

MR-910 / 4.

Adott az $A (5; 14)$ és a $B (7; 6)$ pont a koordináta-rendszerben.

a) Írja fel annak a körnek az egyenletét, amely illeszkedik az $A$ és a $B$ pontokra, és a középpontja az $y$ tengelyen van!

b) Az $y = \frac{1}{2 p} {(x - u)}^{2} + v$ egyenletű parabola tengelypontja a $B$ pont, és a parabola illeszkedik az $A$ pontra. Határozza meg a parabola $p$ paraméterének értékét!

MR-911 / 5.

Egy iskolának 510 tanulója van. Év végén a fiúk p százaléka, a lányok p + 3 százaléka lett kitűnő, így 13 fiú és 20 lány kitűnő tanuló van.
a) Határozza meg a fiúk és a lányok számát ebben az iskolában!

A 33 kitűnő (5,0 átlagú) tanuló közül sorsolással kiválasztanak hármat, akik ingyenes nyári táborozást nyernek.
b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a kisorsolt tanulók között 1 fiú és 2 lány lesz!

Az 510 tanuló év végi tanulmányi átlagairól (a kitűnők számán kívül) még a következő információkat tudjuk: az év végi átlagok terjedelme 2,4; módusza 3,8; mediánja 4,0; átlaga 4,2; szórása 0,9; alsó kvartilise 3,3; felső kvartilise 4,6.
c) Készítsen a tanulók év végi tanulmányi átlagairól sodrófadiagramot!

MR-912 / 6.

Legyen a H alaphalmaz az egyváltozós valós függvények halmaza, M, K és A pedig a
H alábbi részhalmazai:
M = {az értelmezési tartományukon szigorúan monoton növekedő függvények};
K = {az értelmezési tartományukon konvex függvények};
A = {alulról korlátos függvények}.

a) Helyezze el az alábbi hozzárendelésekkel megadott függvények betűjelét az ábra megfelelő részébe!

$f : ℝ \to ℝ, x \mapsto \sin x$

$g : ℝ ∖ \{0\} \to ℝ, x \mapsto \frac{1}{x}$

$h : ℝ \to ℝ, x \mapsto 2^{x}$

$i : ℝ^{+} \cup \{0\} \to ℝ, x \mapsto \sqrt{x}$

b) Jelölje az ábrán satírozással a $(K \cap A) ∖ M$ halmazt, és hozzárendelési szabályával adjon meg egy olyan $j$ függvényt, amely ebbe a halmazba tartozik!

c) Határozza meg az $ℝ \to ℝ, x \mapsto x^{2} + b \cdot x + c$ f üggvény $b$ és $c$ paramétereinek értékét, ha tudjuk, hogy a függvénynek $x = 2$ -ben minimumhelye van, és a minimum értéke $- 1$ .

d) Határozza meg azokat a $p \in [0; 2 π]$ értékeket, amelyekre $\int_{0}^{p} \sin x d x = \frac{1}{2}$ .

MR-913 / 7.

Felül nyitott, négyzet alapú egyenes hasáb alakú tárolódobozt készítünk. A doboz alaplapjának anyagköltsége 4 tallér négyzetdeciméterenként, az oldallapok anyagköltsége
3 tallér négyzetdeciméterenként. Az egész doboz anyagköltségére összesen 300 tallér áll rendelkezésre.
a) Legfeljebb mekkora lehet a doboz magassága, ha alapélei 6 dm hosszúak?

b) Határozza meg a 300 tallérból elkészíthető maximális térfogatú doboz éleinek hoszszát!

Az elkészült doboz alaplapját és négy oldallapját kívül kékre vagy pirosra festjük, egyegy lapot egyszínűre.
c) Hányféle különböző színezésű doboz készíthető? (Két színezést különbözőnek tekintünk, ha forgatással nem vihetők át egymásba. Nem szükséges mindkét színt felhasználni.)

MR-914 / 8.

Legyen G egy ötpontú fagráf.
a) Lehetséges-e, hogy ekkor G komplementere is fagráf?

Egy hatpontú teljes gráf pontjait megszámozzuk 1-től 6-ig. A gráf éleit ezután zöldre vagy pirosra színezzük a következő szabály szerint: két pontot összekötő él zöld lesz, ha a két ponthoz írt számok közül az egyik osztója a másiknak, egyébként pedig piros. A gráf pontjai közül véletlenszerűen kiválasztunk hármat.
b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a kiválasztott három pontot összekötő három él azonos színű!

Egy dobozban 3 zöld és 3 piros golyó van. A dobozból csukott szemmel, visszatevés nélkül addig húzunk egymás után golyókat, amíg vagy a zöld vagy a piros golyók közül kihúzzuk mind a hármat.
c) Határozza meg a szükséges húzások számának várható értékét!

MR-915 / 9.

a) Melyik az a legnagyobb természetes szám, amelyre az alábbi négy tulajdonságból pontosan három teljesül?
(1) Húszjegyű.
(2) 20-szal osztható.
(3) Számjegyeinek összege 20.
(4) Számjegyeinek szorzata 20.

Legyen a $H$ alaphalmaz a húszjegyű pozitív egész számok halmaza, az $A$ halmaz pedig a 7-es számjegyet tartalmazó húszjegyű pozitív egész számok halmaza.

b) Melyik a nagyobb: $|A|$ vagy $|A|$ ?

Az $n$ jegyű pozitív egészek közül egyet véletlenszerűen kiválasztva 0,99-nél nagyobb annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott szám tartalmaz 7-es számjegyet.

c) Határozza meg n lehetséges értékeit!