A 20-al osztható számok 00-ra 20-ra 40-re 60-ra vagy 80-ra végződnek. Az utolsó számjegyük tehát 0. Éppen ezért:

(2) és (4) kizárják egymást, mert a 20-szal osztható számok 0-ra végződnek, így számjegyeik a 0-val való szorzás miatt 0.

A fentiek miatt elvetjük a (4)-es feltételt, azaz hogy a szorzat 20. Ezek alapján az első három feltételt kell kielégíteni: (1), (2), (3).

Mivel a legnagyobb 20 jegyű számot kell felírni, kézenfekvő, hogy 9-essel kell kezdeni, a végén pedig természetesen 0 a (2)-es feltétel alapján:

$$9xxxxxxxxxxxxxxxxxx0$$

Mivel feltétlenül a legnagyobb 20 jegyű számot kell kapnunk, biztosítsuk be magunkat azzal, hogy a második számjegy is 9:

$$99xxxxxxxxxxxxxxxxx0$$

Mivel most már csak a (3) feltételt kell teljesítenünk, nevezetesen hogy az összeg 20 legen,  ezért kell mégy egy 2-es és sok nulla:

$$992\underset{17x}{\underbrace{00000000000000000}}$$

Az ilyen számok közül tehát a legnagyobb szám:

20 jegyű szám esetén az első számjegy nem lehet 0, csak kizárólag 1-9 közül bármelyik. 
A második számjegytől  a 19-edig számjegyig viszont már lehetnek bármilyenek, azaz 10 féle.
Ezért a $$H$$ halmaz darabszáma:

$$\left|H\right|=9·{10}^{19}$$

Az A halmazban olyan 20 jegyű számok vannak, amik 7-est tartalmaznak. Ehhez meg kellene vizsgálni azokat a számokat amik 1, 2 , 3 és így tovább számú 7-est tartalmaznak.

Éppe ezért sokkal könnyebb azokat a számokat vizsgálni, amelyek nem tartalmaznak 7-est (komplementer halmaz)

Számoljuk ki azokanak a 20 jegyű számoknak a számát, amelyek nem tartalmaznak 7-est: Ez valójában az A halmaz komplementerének az elemszáma:

Az első helyre nem írhatok 0-ást és 7-est, azaz 8 féle számot írhatunk. A 2. számjegytől a 20. számjegyig, az 19 számjegy esetében lehe bármi, 7-esen kívül (0,1,2,3,4,5,6,8,9), azaz 9 féle számjegy. Ezek alapján: 

$$\left|\overline{A}\right|=8·9^{19}$$

$$\left|A\right|=\left|H\right|-\left|\overline{A}\right|$$

$$\left|A\right|=9·{10}^{19}-8·9^{19}$$

Most már csak az a kérdés hogy melyik halmaz elemszáma lesz a nagyobb. Ezt nem olyan egyszerű megállapítani, még számológéppel sem, mivel igen nagy számokról van szó. 
Tételezzük fel a következő esetet:

$$\left|A\right|>\left|\overline{A}\right|$$

$$9·{10}^{19}-8·9^{19}>8·9^{19}$$

$$9·{10}^{19}>8·9^{19}+8·9^{19}$$

$$9·{10}^{19}>2·8·9^{19}$$

$$9·{10}^{19}>16·9^{19}$$

$$\frac{{10}^{19}}{9^{19}}>\frac{16}{9}$$

$${\left(\frac{10}{9}\right)}^{19}>\frac{16}{9}$$

$${\left(\frac{10}{9}\right)}^{19}>\frac{16}{9}| lg\left(\right)$$

Fontos megjegyezni, hogy nem fordul a relációs jel mivel 10-es alapú logaritumust használunk, ami szigorúan növekvő függvény.

$$lg {\left(\frac{10}{9}\right)}^{19}>lg\frac{16}{9}$$

$$lg {\left(\frac{10}{9}\right)}^{19}>lg\frac{16}{9}$$

$$19·lg\frac{10}{19}>lg\frac{16}{9}$$

Fontos megjegyezni hogy nem fordula a relációs jel, mive a logaritmus biztosan pozitív, mivel az argumens nagyobb mint 1.

$$19>\frac{lg\frac{16}{9}}{lg\frac{10}{19}}$$

$$19>\frac{lg\frac{16}{9}}{lg\frac{10}{19}}\approx 5,46$$

$$19>5,46 \to T \left(igaz\right)$$

$$P (van 7)>0,99$$

n számjegy esetén, a 7-esek száma lehet csak 1, lehet 2, lehet 3, és így tovább, egészen n-ig. Épp ezért célszerű komplementer halmazzal számolni, hiszen könnyebb meghatározni, hogy ha egyáltalán nincs 7-es. Ennek a valószínűsége:

$$P (nincs 7)<0,01$$

$$P (nincs 7)=\frac{p}{q}$$

n jegyű pozitív egész számok esetén az első számjegy nem lehet nulla (9 lehetéséges eset), míg az összes többi n-1 számjegy lehet 10 féle. Az öszes lehetéges esetek száma (q) ezek szerint:

$$q=9·{10}^{n-1}$$

A kedvező esetek (p) azok, amikor nincs 7 számjegy. Ezek szerint az első számjegy nem lehet 0 és 7 (8 lehetséges eset) az összes többi pedig minden lehet csak 7 nem (9 lehetséges eset).
A kedvező esetek száma p ezek alapján:

$$p=8·9^{n-1}$$

$$P (nincs 7)=\frac{p}{q}=\frac{8·9^{n-1}}{9·{10}^{n-1}}<0,01$$

$$\frac{8}{9}·\frac{9^{n-1}}{{10}^{n-1}}<0,01$$

$${\left(\frac{9}{10}\right)}^{n-1}<\frac{9}{8}·0,01$$

$${\left(\frac{9}{10}\right)}^{n-1}<\frac{9}{8}·\frac{1}{100}$$

$${\left(\frac{9}{10}\right)}^{n-1}<\frac{9}{800}$$

$${\left(\frac{9}{10}\right)}^{n-1}<\frac{9}{800}|lg\left(\right)$$

$$lg{\left(\frac{9}{10}\right)}^{n-1}<lg\frac{9}{800}$$

$$\left(n-1\right)·lg\frac{9}{10}<lg\frac{9}{800}$$

Mivel mindkét logaritmus argumense kissebb mint 1, azaz a logaritmus negatív számot ad, ezért meg kell fordítani a relációs jegyet:

$$n-1>\frac{lg\frac{9}{800}}{lg\frac{9}{10}}$$

$$n=\frac{lg\frac{9}{800}}{lg\frac{9}{10}}+1$$

$$n>43,59$$