618/HK22. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-618 / 16. példa

Az új autók értéke a megvásárlás pillanatától kezdve csökken. A csökkenés mértékét különböző modellekkel lehet becsülni.
A lineáris becslési módszer szerint az autó minden hónapban ugyanannyi forintot veszít az értékéből.

a) Egy újonnan 6 millió forintba kerülő autó értéke a lineáris becslési módszer szerint 5 év alatt csökken a felére. Hány forinttal csökken az autó értéke egy hónap alatt?

Az exponenciális modell szerint az új autó értéke havonta 1%-kal csökken.

b) Hány forintra csökken a 6 millió forintba kerülő új autó értéke két év alatt az exponenciális modell szerint, és ez hány százalékos csökkenést jelent az új kori értékéhez képest?

c) Hány hónap alatt csökken a felére az autó értéke az exponenciális modell szerint?

Egy autókereskedő a következő évre üzleti tervet készít. A terv szerint januárban 65 darab autót ad el, februártól kezdve pedig havonta egyre több autó eladásával számol: minden hónapban ugyanannyival növelné az értékesített autók számát az azt megelőző hónaphoz képest. Az éves terv szerint összesen 1110 darab autó eladása a cél.

d) Hány darabbal kell növelnie hónapról hónapra az eladást a terv szerint?

Összes példa

Forrás: Magyarország: Közép szintű matematika érettségi - [2022 május 3.] - 16..)

Összetett feladatok

$5 é v = 5 \cdot 12 = 60 h ó n a p$

A modell szerint 5 év alatt 3 000 000 Ft-tal csökken az autó ára.

5 év: 60 hónap
Az autó eredeti 6 000 000 árának fele 3 000 000 Ft.

$60 [h ó n a p] : 3000000 [F t] = 1 [h ó n a p] : x [F t]$

$60 \cdot x = 1 \cdot 3000000$

$x = \frac{1 \cdot 3000000}{60}$

a) Havi árcsökkenés:

$x = 50000 F t$

Mivel az az autó értéke érték havonta 1-%-al csökken, az eredeti érték hónapról hónapra a 0,99-szorosára csökken.

Első hónap utáni új ár:

$y = 6000000 \cdot 0, 99$

Második hónap utáni új ár:

$y = 6000000 \cdot 0, 99 \cdot 0, 99$

$y = 6000000 \cdot 0, 99^{2}$

Harmadik hónap utáni új ár:

$y = 6000000 \cdot 0, 99 \cdot 0, 99 \cdot 0, 99$

$y = 6000000 \cdot 0, 99^{3}$

2 év: 24 hónap

24 hónap utáni új ár:

$y = 6000000 \cdot 0, 99^{24}$

$y \approx 4714069$

b) Árcsökkenés százalékban:

$\frac{4714069}{6000000} \cdot 100 [%] = 78, 6 %$

A vásárlástól eltelt hónapok számát n-nel jelölve meg kell oldani az alábbi egyenletet:

$6000000 \cdot 0, 99^{n} = 3000000$

$0, 99^{n} = \frac{3000000}{6000000}$

$0, 99^{n} = \frac{1}{2}$

$0, 99^{n} = \frac{1}{2} | l g ()$

$\log (0, 99^{n}) = \log (\frac{1}{2})$

$n \cdot \log 0, 99 = \log \frac{1}{2}$

$n = \frac{\log \frac{1}{2}}{\log 0, 99}$

$n \approx 68, 97$

c) 69 hónap elteltével csökken az autó értéke a felére

$n = 69$

Az egyes hónapokban eladandó autók száma egy olyan számtani sorozat egymást követő tagjai.

Mivel január terv 65, ezért a sorozat első tagja a₁=65.

Mivel egy év, azaz 12 hónap alatt 1110 autó eladása a cél, ez azt jelenti hogy a sorozat első 12 tagjának összege összege S₁₂=1110.

$S_{12} = \frac{a_{1} + a_{12}}{2} \cdot 12$

$1110 = \frac{65 + a_{12}}{2} \cdot 12$

$1110 = (65 + a_{12}) \cdot 6$

$(65 + a_{12}) \cdot 6 = 1110$

$65 + a_{12} = \frac{1110}{6}$

$65 + a_{12} = 185$

$a_{12} = 185 - 65$

$a_{12} = 120$

$a_{12} = a_{1} + (12 - 1) \cdot d$

$120 = 65 + 11 \cdot d$

$65 + 11 \cdot d = 120$

$11 \cdot d = 120 - 65$

$11 \cdot d = 55$

$d = \frac{55}{11}$

d) A sorozat elemei közötti különbség, azaz az évenkénti növekedés mértéke:

$d = 5$

MathReference - Példatár