18. a) Határozza meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)!
(A és B halmazokat jelöl. Válaszait itt nem kell indokolnia.)
I. állítás: Ha B üres halmaz, akkor A∩B üres halmaz.
II. állítás: Ha A=B, akkor AB üres halmaz.
III. állítás: Ha A∪B = A, akkor A=B.
b) Az I. állítás megfordítása: Ha A∩B üres halmaz, akkor B üres halmaz.
Határozza meg ennek az állításnak a logikai értékét! Válaszát indokolja!
c) Írja be mind a kilenc egyjegyű pozitív egész számot az ábra megfelelő részébe!
A 0, 1, 2, 4 és 9 számjegyeket felhasználva elkészítjük az összes olyan ötjegyű számot, melyek különböző számjegyekből állnak.
d) Hány 4-gyel osztható szám van az elkészített számok között?
a) Határozza meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)!
(A és B halmazokat jelöl. Válaszait itt nem kell indokolnia.)
I. állítás: Ha B üres halmaz, akkor A∩B üres halmaz.
II. állítás: Ha A=B, akkor AB üres halmaz.
III. állítás: Ha A∪B = A, akkor A=B.
Ha B üres halmaz, akkor A∩B üres halmaz
Két halmaz metszete a közös elemeket tartalmazza. Mivel B halmaz üres halmaz ezért a közös rész szintén üres halmaz. Az első állítás tehét igaz.
Ha A=B, akkor A\B üres halmaz
II. állítás: igaz
A\B halmaz olyan elemeket tartalmaz, amelyek benne vannak az A-ban, de nincsenek a B-ben. Mivel A=B, ezért az A halmazból ki kell venni minden elemet, azaz A\B halmaz üres lesz. A második állítás tehát igaz.
Ha A∪B = A, akkor A=B
III. állítás: hamis
Amennyiben például B részhalmaza A-nak, akkor is a két halmaz úniója A lesz. A harmadi állítás tehát hamis.
b) Az I. állítás megfordítása: Ha A∩B üres halmaz, akkor B üres halmaz.
Az állítás hamis
Amenyiben például A és B halmazoknak vannak elemei, de nincs egyetlen közös elemük sem, a metszet akkor is üres halmaz.
c) Írja be mind a kilenc egyjegyű pozitív egész számot az ábra megfelelő részébe!
1 - négyzetszám (12=1) nem összetett szám mert nincs valódi osztója, 3-mal nem osztható
2 - nem négyzetszám, nem öszetett mert nincs valódi osztója, 3-mal nem osztható
3 - nem négyzetszám, nem öszetett mert nincs valódi osztója, 3-mal osztható (3:3=1)
4 - négyzetszám (22=4), összetett szám mert van valódi osztója (4:2=2) , 3-mal nem osztható
5 - nem négyzetszám, nem öszetett mert nincs valódi osztója, 3-mal nem osztható
6 - nem négyzetszám, összetett szám mert van valódi osztója (6:2=3, 6:3=2), 3-mal osztható (6:3=2)
7 - nem négyzetszám, nem öszetett mert nincs valódi osztója, 3-mal nem osztható
8 - nem négyzetszám, összetett szám mert van valódi osztója (8:2=4, 8:4=2), 3-mal nem osztható
9 - négyzetszám (32=9) összetett szám mert van valódi osztója (9:3=3), 3-mal osztható (9:3=1)
c) A fenti adatok alapján kitöltött ábra:
A 0, 1, 2, 4 és 9 számjegyeket felhasználva elkészítjük az összes olyan ötjegyű számot, melyek különböző számjegyekből állnak.
d) Hány 4-gyel osztható szám van az elkészített számok között?
Egy ötjegyű szám pontosan akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegyéből álló szám osztható 4-gyel.
A megadott számjegyekből alkotható „kétjegyű”, 4-gyel osztható számok:
A 04 végződés esetén az első három helyiértéken a következő számok lehetnek: 1, 2, 9
Ezt a három számot 3! = 6-féle képpen lehet felírni (Ismétlés nélküli permutcáció)
A 20 végződés esetén az első három helyiértéken a következő számok lehetnek: 1, 4, 9
Ezt a három számot 3! = 6-féle képpen lehet felírni (Ismétlés nélküli permutcáció)
A 40 végződés esetén az első három helyiértéken a következő számok lehetnek: 1, 2, 9
Ezt a három számot 3! = 6-féle képpen lehet felírni (Ismétlés nélküli permutcáció)
A 12 végződés esetén az első három helyiértéken a következő számok lehetnek: 0, 4, 9
A 0 nem lehet az első helyen, mivel akkor nem ötjegyű számot kapnánk, hanem négyjegyűt.
a 4 és 9 számjegyet 2! = 2-féle képpen lehet felírni (Ismétlés nélküli permutcáció)
A 24 végződés esetén az első három helyiértéken a következő számok lehetnek: 0, 1, 9
A 0 nem lehet az első helyen, mivel akkor nem ötjegyű számot kapnánk, hanem négyjegyűt.
az 1 és 9 számjegyet 2! = 2-féle képpen lehet felírni (Ismétlés nélküli permutcáció)
A 92 végződés esetén az első három helyiértéken a következő számok lehetnek: 0, 1, 4
A 0 nem lehet az első helyen, mivel akkor nem ötjegyű számot kapnánk, hanem négyjegyűt.
az 1 és 4 számjegyet 2! = 2-féle képpen lehet felírni (Ismétlés nélküli permutcáció)
Összerakva ezt a hat lehetséges esetet, a feltételeknek megfelelő ötjegyű számok száma:
