533/HK16. zadatak / Matematika - Zbirka rešenih zadataka

MR-533 / 18. zadatak

a) Legfeljebb hány gyertyát önthet Zsófi egy 11 cm oldalú, kocka alakú tömbből?

5^{2} = h^{2} + 3^{2}

25 = h^{2} + 9

h^{2} = 25 - 9 = 16

h = 4

h^{2} = m^{2} + 33^{2}

4^{2} = m^{2} + 3^{2}

16 = m^{2} + 9

m^{2} = 16 - 9

m^{2} = 7

m = \sqrt{7} = 2, 65 c m

V_{g ú l a} = \frac{6^{2} \cdot m}{3} = \frac{36 \cdot \sqrt{7}}{3} = 12 \sqrt{7} \approx 31, 75 c m^{3}

V_{k o c k a} = 11^{3} = 1331 c m^{3}

n = \frac{V_{k o c k a}}{V_{g ú l a}} = \frac{1331}{31, 75} = 41, 9

n = 41

b) Hányféle különböző gyertyát tud Zsófi ilyen módon elkészíteni?

A z a l a p l a p o t k é t f é l e k é p p e n l e h e t k i s z í n e z n i .

A z o l d a l l a p o k l e h e t n e k u g y a n o l y a n s z í n ű e k, m i n d e g y i k k é k, v a g y m i n d e g y i k z ö l d (k é t e s e t) .

L e h e t h á r o m o l d a l l a p z ö l d é s e g y k é k, v a g y h á r o m o l d a l l a p k é k é s e g y z ö l d (k é t e s e t) .

O l y a n f e s t é s b ő l, a m i k o r k é t o l d a l l a p z ö l d é s k é t o l d a l l a p k é k, s z i n t é n k é t f é l e l e h e t, a t t ó l f ü g g ő e n, h o g y a z u g y a n o l y a n s z í n ű l a p o k s z o m s z é d o s a k v a g y s z e m k ö z t i e k .

A z o l d a l l a p o k a t t e h á t h a t f é l e k é p p e n l e h e t k i s z í n e z n i .

Ö s s z e s e n 2 \cdot 6 = 12 - f é l e k ü l ö n b ö z ő s z í n e z é s k é s z í t h e t ő .

c) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy Zsófi az első három nap három különböző színű lánggal égő gyertyát gyújt meg!

6 gyertyából kell háromat kiválasztani:

q = (\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 5 \cdot 4 = 20

Minden fajtából kettő van a dobozban, így a kedvező esetek száma:

r = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

A valószínűségét, hogy Zsófi az első három nap három különböző színű lánggal égő gyertyát gyújt meg:

P = \frac{r}{q} = \frac{8}{20} = 0, 4

END

MathReference - Zadaci