$$3+{\log }_2\left(x-2\right)={\log }_2\left(2x+8\right)$$

A logaritmu argumense feltétlen nagyobb kell hogy legyen mint 0. Ezért:

$$x-2>0 \wedge 2x+8>0$$

$$x>2 \wedge 2x>-8$$

$$x>2 \wedge x>-4$$

Az erőssebb feltételt kell figyelembe venni, ezek szerint:

$$x>-4$$

$${\log }_{2}8+{\log }_2\left(x-2\right)={\log }_2\left(2x+8\right)$$

$${\log }_{2}8·\left(x-2\right)={\log }_2\left(2x+8\right)$$

$$8·\left(x-2\right)=2x+8$$

$$8x-16=2x+8$$

$$8x-2x=8+16$$

$$6x=24$$

$$x=\frac{24}{6}$$

$$x=4>-4$$

A metszéspontot megkapjuk, ha a két függvényt kiegyenlítjük egymással:

$$f\left(x\right)=g\left(x\right)$$

$$2^{x-3}=2^x-7$$

$$\frac{2^x}{2^3}=2^x-7$$

$$\frac{2^x}{8}=2^x-7$$

$$2^x=8·\left(2^x-7\right)$$

$$2^x=8·2^x-56$$

$$8·2^x-56=2^x$$

$$8·2^x-2^x=56$$

$$7·2^x=56$$

$$2^x=\frac{56}{7}$$

$$2^x=8$$

$$2^x=2^3$$

$$f\left(3\right)=g\left(3\right)=2^{3-3}=2^3-7$$

$$f\left(3\right)=g\left(3\right)=2^0=8-7$$

$$f\left(3\right)=g\left(3\right)=1$$

Az alapfüggvény $h\left(x\right)$ értelmezési tartománya:

Az inverzfüggvény meghatározásánál fel kell cserélni az $x$ és $y$ változókat:

$$h\left(x\right)=y=2^{x-3}$$

$$x=2^{y-3}$$

$$x=2^{y-3} | lo{g}_2\left(\right)$$

$${\log }_{2}x={\log }_2{2}^{y-3}$$

$${\log }_{2}x=\left(y-3\right)·{\log }_{2}2$$

$${\log }_{2}x=y-3$$

$$y-3={\log }_{2}x$$

$$ÉT:\left\{2,3,5,7\right\}$$

$$h\left(2\right)=2^{2-3}=2^{-1}=\frac{1}{2}$$

$$h\left(3\right)=2^{3-3}=2^0=1$$

$$h\left(5\right)=2^{5-3}=2^2=4$$

$$h\left(7\right)=2^{7-3}=2^4=16$$

$$y\left(\frac{1}{2}\right)={\log }_2\frac{1}{2}+3=-1+3=2$$

$$y\left(1\right)={\log }_{2}1+3=0+3=3$$

$$y\left(4\right)={\log }_{2}4+3=2+3=5$$

$$y\left(16\right)={\log }_{2}16+3=4+3=7$$

A $h$ fügvény értékkészlete megegyezik az inverz függvényének értelmezési tartományával:

$$h_i\left(x\right)\to x\in \left\{\frac{1}{2}, 1, 4, 16\right\}$$