833/VB03. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-833 / 1512. példa

A sorozat első n tagjának összege:

$S_{n} = \frac{5^{n + 1} - 5}{4 \cdot 5^{n}}$

a) Határozzuk meg a sorozat általános tagját, és vizsgáljuk meg, konvergens-e!

b) Határozzuk meg a sorozat tagjainak összegét, amikor a tagok száma végtelen!

$\underset{n \to \infty}{l i m} S_{n}$

a) Határozzuk meg a sorozat általános tagját, és vizsgáljuk meg, konvergens-e!

$S_{n} = \frac{5^{n + 1} - 5}{4 \cdot 5^{n}}$

$f_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$

$f_{n} = \frac{5^{n + 1} - 5}{4 \cdot 5^{n}} - \frac{5^{n} - 5}{4 \cdot 5^{n - 1}}$

$f_{n} = \frac{5^{n + 1} - 5}{4 \cdot 5^{n}} - \frac{5^{n} - 5}{4 \cdot 5^{n} \cdot 5^{- 1}}$

$f_{n} = \frac{5^{n + 1} - 5}{4 \cdot 5^{n}} - \frac{(5^{n} - 5) \cdot 5^{1}}{4 \cdot 5^{n}}$

$f_{n} = \frac{5^{n + 1} - 5}{4 \cdot 5^{n}} - \frac{5^{n + 1} - 5 \cdot 5}{4 \cdot 5^{n}}$

$f_{n} = \frac{5^{n + 1} - 5 - 5^{n + 1} + 5^{2}}{4 \cdot 5^{n}}$

$f_{n} = \frac{- 5 + 25}{4 \cdot 5^{n}}$

$f_{n} = \frac{20}{4 \cdot 5^{n}}$

$f_{n} = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 5^{n}}$

$f_{n} = \frac{1}{5^{n - 1}}$

$f = \underset{n \to \infty}{l i m} f_{n} = \frac{1}{5^{n - 1}} = \frac{1}{5^{\infty}} = \frac{1}{\infty}$

$f = 0$

A sorozat általános tagja konvergens, mivel határértéke 0.

b) Határozzuk meg a sorozat tagjainak összegét, amikor a tagok száma végtelen!

$\underset{n \to \infty}{l i m} S_{n}$

Vizsgáljuk meg a sorozatot tagjain keresztül, vajon mértani sorozat-e?

$f_{1} = \frac{1}{5^{1 - 1}} = \frac{1}{5^{0}} = \frac{1}{1} = 1$

$f_{2} = \frac{1}{5^{2 - 1}} = \frac{1}{5^{1}} = \frac{1}{5}$

$f_{3} = \frac{1}{5^{3 - 1}} = \frac{1}{5^{2}}$

$f_{4} = \frac{1}{5^{4 - 1}} = \frac{1}{5^{3}}$

$q = \frac{f_{2}}{f_{1}} = \frac{f_{3}}{f_{2}} = \frac{f_{4}}{f_{3}} = . . . = \frac{1}{5}$

A sorozat valóban mértani:

$b_{1} = 1; q = \frac{1}{5}$

$S = \underset{n \to \infty}{l i m} S_{n} = \frac{f_{1}}{1 - q}, |q| < 1$

$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{\frac{4}{5}}$

$S = \frac{5}{4}$

MathReference - Példatár