826/VB03. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-826 / 10530. példa

Az $y^{2} = 12 x$ parabola fókusza köré egy olyan kört írunk, ami érinti a parabola vezéregyenesét (direcrix-ét). Határozza meg a kör egyenletét, valamint a parabola és a kör metszésszögét!

Összes példa

Forrás: Vene T. Bogoslavov: Megoldott feladatok gyűjteménye 3 - 1053.0.)

Geometria → Analitikus geometrija a síkban → Összetette feladatok

$y^{2} = 12 x$

$y^{2} = 2 p x$

$2 p = 12$

$p = \frac{12}{2}$

$p = 6$

A parabola fókuszpontja:

$F (\frac{p}{2}, 0) = F (\frac{6}{2}, 0) = F (3, 0)$

A parabola vezéregyenese:

$x = - \frac{p}{2}$

$x = - \frac{6}{2}$

$x = - 3$

Az említett kör közzéppontja és sugara:

$F = C (p, q); = C (3, 0); r = 6$

A kör egyenlete ez alapján:

${(x - p)}^{2} + {(y - q)}^{2} = r^{2}$

${(x - 3)}^{2} + {(y - 0)}^{2} = 6^{2}$

A parabola és a kör metszéspontjai a két görbe egyenlet rendszerének megoldása:

$x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 36 = 0$

$y^{2} = 12 x$

$x^{2} - 6 x + 9 + 12 x - 36 = 0$

$x^{2} - 6 x - 27 = 0; x \geq 0$

$a = 1; b = 6; c = - 27$

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$= \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$

$= \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

$= \frac{- 6 \pm \sqrt{144}}{2}$

$= \frac{- 6 \pm 12}{2}$

$x_{1} = \frac{- 6 + 12}{2} = \frac{6}{2}$

$x_{1} = 3$

$x_{2} = \frac{- 6 - 12}{2} = \frac{- 18}{2}$

A negatív eredményt a parabola miatt el kell vetni.

$x_{2} = - 9; x < 0$

$y^{2} = 12 \cdot x = 12 \cdot 3 = 36$

$y = \pm \sqrt{36} = \pm 6$

$y_{1} = + 6; y_{2} = - 6$

Ez alapján a metszéspontok koodrinátái:

$P_{1} (3, 6); P_{2} (3, - 6)$

A parabola és a kör érintési feltétele:

$p = 2 k n$

Határozzuk meg a parabola érintőjét a P1 pontban:

$t_{1} : y = k x + n$

$P_{1} \in t_{1} : 6 = k \cdot 3 + n$

$3 k + n - 6 = 0$

A parabola és az egyenes érintési feltétele:

$p = 2 \cdot k \cdot n$

$6 = 2 \cdot k \cdot n$

$k = \frac{6}{2 \cdot n} = \frac{3}{n}$

$3 \cdot \frac{3}{n} + n - 6 = 0$

$\frac{9}{n} + n - 6 = 0 | \cdot n$

$n^{2} - 6 n + 9 = 0$

$a = 1; b = - 6; c = 9$

$n_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$= \frac{- (- 6) \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 a}$

$= \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

$= \frac{6 \pm 0}{2}$

$n_{1} = n_{2} = 3$

$k = \frac{3}{n} = \frac{3}{3}$

$k = 1$

A parabola érintőjének egyenlete a P₁ pontban:

$y = x + 3$

A kör érintője a P₁ pontban szemmel láthatóan egy vízszintes egyenes:

$y = 6$

A két érintő egyenes iránytényezői:

$k_{1} = 1; k_{2} = 0$

Két egyenes által bezárt szög:

$t g α = |\frac{k_{2} - k_{1}}{1 + k_{1} \cdot k_{2}}|$

$t g α = |\frac{0 - 1}{1 + 1 \cdot 0}| = 1$

$α = 45 °$

MathReference - Példatár