777/HK18. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-777 / 15. példa

a) Egy számtani sorozat negyedik tagja 4, tizenhatodik tagja –2. Számítsa ki a sorozat első 120 tagjának az összegét!

b) Adott egy szakasz két végpontja: A(0; 4) és B(2; 3).Írja fel az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenletét!

c) Egy elsőfokú függvény a 0-hoz 4-et, a 2-höz 3-at rendel. Írja fel a függvény hozzárendelési szabályát!

Összes példa

Forrás: Magyarország: Közép szintű matematika érettségi [2018. május 8.] - 15..)

Összetett feladatok

a) Egy számtani sorozat negyedik tagja 4, tizenhatodik tagja –2. Számítsa ki a sorozat első 120 tagjának az összegét!

$4 = a_{1} + 3 d$

$- 2 = a_{1} + 15 d$

$\begin{matrix} a_{1} & + & 3 d & = & 4 \\ a_{1} & + & 15 d & = & - & 2 & | \cdot (- 1) \end{matrix}$

$\begin{matrix} a_{1} & + & 3 d & = & 4 \\ - & a_{1} & - & 15 d & = & 2 \end{matrix}} +$

$3 d - 15 d = 6$

$- 12 d = 6$

$d = \frac{6}{- 12}$

$d = 0, 5$

$a_{1} = 4 - 3 d$

$a_{1} = 4 - 3 \cdot (- 0, 5) = 4 + 1, 5$

$a_{1} = 5, 5$

$S_{120} = \frac{[2 a_{1} + (120 - 1) \cdot d] \cdot 120}{2}$

$S_{120} = \frac{[2 \cdot 5, 5 + (120 - 1) \cdot (- 0, 5)] \cdot 120}{2}$

$S_{120} = \frac{[11 - 119 \cdot 0, 5] \cdot 120}{2}$

$S_{120} = - 2910$

b) Adott egy szakasz két végpontja: A(0; 4) és B(2; 3).Írja fel az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenletét!

$x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}; y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}$

$x_{M} = \frac{0 + 2}{2}; y_{M} = \frac{4 + 3}{2}$

$x_{M} = 0; y_{M} = 3, 5$

A felezőmerőleges egyik normálvektora:

$\vec{n} = \vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$

$\vec{n} = \vec{A B} = (2 - 0; 3 - 4)$

$\vec{n} = \vec{A B} = (2; - 1)$

$\begin{matrix} A x + B y + C = 0 \\ \vec{n} (A; B) \end{matrix}$

$2 x - y + C = 0$

Mivel az M pont rajta van az egyenesen, koordinátái kielégítik annak egyenletét:

$2 \cdot x_{A} - y_{A} + C = 0$

$2 \cdot 0 - 1, 5 + C = 0$

$C = 1, 5$

$2 x - y + 1, 5 = 0$

$2 x - y = - 1, 5$

c) Egy elsőfokú függvény a 0-hoz 4-et, a 2-höz 3-at rendel. Írja fel a függvény hozzárendelési szabályát!

$y = m x + b$

$4 = m \cdot 0 + b$

$b = 4$

$3 = m \cdot 2 + b$

$3 = m \cdot 2 + 4$

$2 m = 3 - 4$

$2 m = - 1$

$m = - \frac{1}{2} = - 0, 5$

$y = - 0, 5 x + 4$

MathReference - Példatár