744/HK20. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-744 / 18. példa

Egy sétálóutca díszburkolatát ötszög alapú egyenes hasáb alakú kövekkel készítik el. (Az ábrán négy ilyen követ lehet látni a burkolaton megfigyelhető elrendezésben.)

A kő alapját képező ABCDE ötszög tengelyesen szimmetrikus (egy, a D csúcson átmenő egyenesre), négy oldala 10 cm hosszú, három szöge 120°-os, az ábrának megfelelően.

a) Számítással igazolja, hogy az AED és a BCD háromszög derékszögű!

b) Számítsa ki az ABCDE ötszög területét!

Róbert egy járdaszakaszt egyedül 20 óra alatt burkolna le ezzel a kővel, Sándor ugyanazt a munkát egyedül 30 óra alatt végezné el.

c) Mennyi idő alatt végeznek, ha együtt dolgoznak?

Ezt a követ szürke és sárga színben árulják a kereskedésben. A dobozokon matrica jelzi a dobozban lévő kövek színét. Átlagosan minden századik dobozon rossz a matrica: szürke helyett sárga vagy fordítva. (Ezt tekinthetjük úgy, hogy 0,01 annak a valószínűsége, hogy rossz matrica került a dobozra.) Péter kiválaszt 21 szürke jelzésű dobozt, és ellenőrzi a dobozokban lévő kövek színét.

d) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a 21 kiválasztott doboz közül legalább 20 dobozban valóban szürke kő van?

Összes példa

Forrás: Magyarország: Közép szintű matematika érettségi [2020. május 5.] - 18..)

Összetett feladatok

a) Számítással igazolja, hogy az AED és a BCD háromszög derékszögű!

Az ötszög belső szögeinek összege:

$α_{Σ} = (n - 2) \cdot 180 ° = (5 - 2) \cdot 180 ° = 3 \cdot 180 °$

$α_{Σ} = 540 °$

$3 \cdot 120 ° + 2 \cdot β = 540 °$

$360 ° + 2 \cdot β = 540 °$

$2 β = 540 ° - 360 °$

$2 β = 180 °$

$β = \frac{180 °}{2}$

$β = 90 °$

b) Számítsa ki az ABCDE ötszög területét!

Az AD és BD átlók az ötszöget két egyenlő szárú derékszögű háromszögre és egy harmadik (egyenlő szárú) háromszögre bontják

$T_{A E D} = T_{B C D} = \frac{10 \cdot 10}{2}$

$T_{A E D} = T_{B C D} = 50 c m^{2}$

Az AD és a BD szakasz hossza Pitagorasz-tétellel:

$\bar{A D} = \bar{B D} = \sqrt{10^{2} + 10^{2}} = \sqrt{200} = \sqrt{2 \cdot 100}$

$\bar{A D} = \bar{B D} = 10 \sqrt{2}$

Az ADB háromszögben a szárak által bezárt szög 30°-os, így a háromszög területe:

$T_{A D B} = \frac{\bar{A D} \cdot \bar{B D} \cdot \sin 30 °}{2}$

$T_{A D B} = \frac{10 \sqrt{2} \cdot 10 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{2} = \frac{10 \cdot 10 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}}{2} = \frac{100}{2}$

$T_{A D B} = 50 c m^{2}$

$T_{A B C D E} = 2 \cdot T_{A E D} + T_{A D B} = 2 \cdot 100 + 50$

$T_{A B C D E} = 250 c m^{2}$

Róbert egy járdaszakaszt egyedül 20 óra alatt burkolna le ezzel a kővel, Sándor ugyanazt a munkát egyedül 30 óra alatt végezné el.

c) Mennyi idő alatt végeznek, ha együtt dolgoznak?

1 óra alatt külön-külön elvégzik a munka 1/20 illetve 1/30 részét.

1 óra alatt együtt az $\frac{1}{20} + \frac{1}{30}$ részét végzik el a munkának.

Az együtt végzett munkához szükséges időt (órában mérve) jelöljük x-el:

$\frac{1}{20} \cdot x + \frac{1}{30} \cdot x = 1$

$x \cdot (\frac{1}{20} + \frac{1}{30}) = 1$

$x \cdot (\frac{20 + 30}{60}) = 1$

$x \cdot \frac{50}{60} = 1$

$x = \frac{60}{50}$

$x = 12 ó r a$

d) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a 21 kiválasztott doboz közül legalább 20 dobozban valóban szürke kő van?

Annak a valószínűsége, hogy egy adott matricával jelzett dobozban a matricán szereplő színű kő van (A esemény):

$P (A) = 1 - 0, 01 = 0, 99$

Annak a valószínűsége, hogy mind a 21 kiválasztott 21 dobozban szürke kő lesz (B esemény):

$P (B) = 0, 99^{21} \approx 0, 8097$

Annak a valószínűsége, hogy 20 dobozban szürke, egy dobozban sárga színű kő lesz (C esemény):

$P (C) = (\begin{matrix} 21 \\ 20 \end{matrix}) \cdot 0, 99^{20} \cdot 0, 01 \approx 0, 1718$

A keresett valószínűség a B és C események valószínűségének összege:

$P \approx 0, 9815$

MathReference - Példatár