739/HK20. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-739 / 13. példa

a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán!

$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 4} = 2$

Legyenek f, g és h függvények a valós számok halmazán értelmezve úgy, hogy:

$f (x) = x - 1; g (x) = 2^{x}; h (x) = |x| - 3$

b) Adja meg annak a függvénynek a betűjelét, amely a (–2)-höz (–1)-et rendel!

Összes példa

Forrás: Magyarország: Közép szintű matematika érettségi [2020. május 5.] - 13..)

Algebra → Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek és egyenletrendszerek → Másodfokú egyenletek

Mivel a nevező nem lehet nulla, ezért az értelmezési tartomány:

$D_{f} = ℝ ∖ \{- 2, 2\}$

$x^{2} - 4 x + 4 = 2 (x^{2} - 4)$

$x^{2} - 4 x + 4 = 2 x^{2} - 8$

$0 = 2 x^{2} - 8 - x^{2} + 4 x - 4$

$x^{2} + 4 x - 12 = 0$

$a = 1; b = 4; c = - 12$

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$= \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

$= \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

$= \frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

$= \frac{- 4 \pm 8}{2}$

$x_{1} = \frac{- 4 + 8}{2} = \frac{4}{2}$

$x_{1} = 2 \notin D_{f}$

$x_{2} = \frac{- 4 - 8}{2} = \frac{- 12}{2}$

$x_{2} = - 6$

Legyenek f, g és h függvények a valós számok halmazán értelmezve úgy, hogy:

$f (x) = x - 1; g (x) = 2^{x}; h (x) = |x| - 3$

b) Adja meg annak a függvénynek a betűjelét, amely a (–2)-höz (–1)-et rendel!

$f (- 2) = - 2 - 1 = - 3$

$g (- 2) = 2^{- 2} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}$

$h (x) = |- 2| - 3 = 2 - 3 = - 1$

c) Töltse ki az alábbi táblázatot az „igaz” és „hamis” szavakkal annak megfelelően, hogy az adott kijelentés igaz vagy hamis az adott függvény esetén!

	van zérushelye	monoton növekvő a teljes értelmezési tartományon	van minimuma
f
g
h

	van zérushelye	monoton növekvő a teljes értelmezési tartományon	van minimuma
f	igaz	igaz	hamis
g	hamis	igaz	hamis
h	igaz	hamis	igaz

MathReference - Példatár