648/HK21. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-648 / 170. példa

a) Az

$x \mapsto m \cdot x + b$

lineáris függvény 1-hez 200-at, 21-hez pedig 5200-at rendel. Adja meg m és b értékét!

Anna szeretne részt venni a Balaton-átúszáson, amelyhez két különböző 21 napos edzéstervet készít. Azt már elhatározta, hogy az első napon 200 métert, az utolsó, 21. napon pedig az átúszás teljes távját, 5200 métert úszik. Az egyik edzéstervben a napi úszásmennyiségek egy számtani sorozat egymást követő tagjai, a másik változatban pedig (jó közelítéssel) egy mértani sorozaté.

b) A teljes felkészülés alatt összesen hány métert úszna Anna az egyik, illetve a másik változatban?

A 2020-as Balaton-átúszáson az indulók 36%-a volt nő, átlagéletkoruk 35 év. Az indulók 64%-a volt férfi, átlagéletkoruk 38 év.

c) Mennyi volt ebben az évben az összes induló átlagéletkora?

Összes példa

Forrás: Magyarország: Közép szintű matematika érettségi [2021. május 4.] - 17.0.)

Összetett feladatok

a) Adja meg m és b értékét!

$y (x) = m \cdot x + b$

$\begin{matrix} y (1) = m \cdot 1 + b = 200 \\ y (21) = m \cdot 21 + b = 5200 \end{matrix}$

$\begin{matrix} m + b = 200 | \cdot (- 1) \\ 21 m + b = 5200 \end{matrix}$

$\begin{matrix} - m - b = - 200 \\ 21 m + b = 5200 \end{matrix}$

$\begin{matrix} - m - b = - 200 \\ 21 m + b = 5200 \end{matrix}} +$

$20 m = 5000$

$m = \frac{5000}{20}$

$m = 250$

$m + b = 200$

$250 + b = 200$

$b = 200 - 250$

$b = - 50$

b) A teljes felkészülés alatt összesen hány métert úszna Anna az egyik, illetve a másik változatban?

Számtani sorozat esetén:

$\begin{matrix} a_{1} = 200 \\ a_{21} = 5200 \end{matrix}$

A felkészülés alatt leúszott táv valójában a számtani sorozat első 21 tagjának összege:

$S_{21} = \frac{a_{1} + a_{21}}{2} \cdot 21$

$S_{21} = \frac{(200 + 5200)}{2} \cdot 21$

$S_{21} = 56700$

Mértani sorozat esetén:

$\begin{matrix} b_{1} = 200 \\ b_{21} = 5200 \end{matrix}$

$b_{21} = b_{1} \cdot q^{20}$

$5200 = 200 \cdot q^{20}$

$200 \cdot q^{20} = 5200$

$q^{20} = \frac{5200}{200}$

$q^{20} = 26$

$q = \sqrt[20]{26}$

$q \approx 1, 177$

$S_{21} = a_{1} \cdot \frac{q^{21} - 1}{q - 1}$

$S_{21} = 200 \cdot \frac{1, 177^{21} - 1}{1, 177 - 1}$

$S_{21} \approx 33500$

A 2020-as Balaton-átúszáson az indulók 36%-a volt nő, átlagéletkoruk 35 év. Az indulók 64%-a volt férfi, átlagéletkoruk 38 év.

c) Mennyi volt ebben az évben az összes induló átlagéletkora?

A résztvevők száma legyen n. Ekkor a nők száma 0,36n, a férfiak száma 0,64n

Az életkorok összege:

$0, 36 n \cdot 35 + 0, 64 n \cdot 38 = 36, 92 n$

Átlagéletkor:

$x = \frac{36, 92 n}{n}$

$x = 36, 92 é v$

MathReference - Példatár