367/MR00. zadatak / Matematika - Zbirka rešenih zadataka

MR-367 / 588. zadatak

Vektori $\vec{a}$ i $\vec{b}$ obrazuju ugao $ψ = \frac{π}{6}$ . Ako je $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ i $|\vec{b}| = 1$ izračunati ugao između vektora $\vec{p} = \vec{a} + \vec{b}$ i $\vec{q} = \vec{a} - \vec{b}$ .

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Izvor: MathReference: Zbirka zadataka - 367.)

Algebra → Eksponencijalne jednačine i nejednačine → Eksponencijalne jednačine

\vec{p} \cdot \vec{q} = \vec{|p|} \cdot \vec{|q|} \cdot \cos α

c os α = \frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{\vec{|p|} \cdot \vec{|q|}}

\vec{p} \cdot \vec{q} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})

\vec{p} \cdot \vec{q} = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}

\vec{p} \cdot \vec{q} = \vec{|a|} \cdot \vec{|a|} \cdot \cos 0 - \vec{|b|} \cdot \vec{|b|} \cdot \cos 0

\vec{p} \cdot \vec{q} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1 = 3 - 1

\vec{p} \cdot \vec{q} = 2

\vec{p} \cdot \vec{p} = \vec{|p|} \cdot \vec{|p|} \cdot \cos 0

\vec{p} \cdot \vec{p} = {\vec{|p|}}^{2}

\vec{|p|} = \sqrt{\vec{p} \cdot \vec{p}}

\vec{p} \cdot \vec{p} = (\vec{a} + \vec{b}) (\vec{a} + \vec{b})

\vec{p} \cdot \vec{p} = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b}

\vec{p} \cdot \vec{p} = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}

\vec{p} \cdot \vec{p} = \vec{|a|} \cdot \vec{|a|} \cdot \cos 0 + 2 \cdot \vec{|a|} \cdot \vec{|b|} \cdot \cos ψ + \vec{|b|} \cdot \vec{|b|} \cdot \cos 0

\vec{p} \cdot \vec{p} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1

\vec{p} \cdot \vec{p} = 3 + 3 + 1

\vec{p} \cdot \vec{p} = 7

\vec{|p|} = \sqrt{(\vec{p} \cdot \vec{p})} = \sqrt{7}

\vec{q} \cdot \vec{q} = \vec{|q|} \cdot \vec{|q|} \cdot \cos 0

\vec{q} \cdot \vec{q} = {\vec{|q|}}^{2}

\vec{|q|} = \sqrt{(\vec{q} \cdot \vec{q})}

\vec{q} \cdot \vec{q} = (\vec{a} - \vec{b}) (\vec{a} - \vec{b})

\vec{q} \cdot \vec{q} = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b}

\vec{q} \cdot \vec{q} = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}

\vec{q} \cdot \vec{q} = \vec{|a|} \cdot \vec{|a|} \cdot \cos 0 + 2 \cdot \vec{|a|} \cdot \vec{|b|} \cdot \cos ψ + \vec{|b|} \cdot \vec{|b|} \cdot \cos 0

\vec{q} \cdot \vec{q} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1

\vec{q} \cdot \vec{q} = 3 - 3 + 1

\vec{q} \cdot \vec{q} = 1

\vec{|q|} = \sqrt{(\vec{q} \cdot \vec{q})} = \sqrt{1} = 1

c os α = \frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{\vec{|p|} \cdot \vec{|q|}} = \frac{2}{\sqrt{7} \cdot 1}

c os α = \frac{2}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}

c os α = \frac{2 \sqrt{7}}{7}

c os α = \frac{2 \sqrt{7}}{7}

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