$$\frac{x-10}{x-2}+\frac{x-9}{x-3}+\frac{x-8}{x-4}+\frac{x-7}{x-5}=-4$$

$$\frac{x-10}{x-2}+\frac{x-9}{x-3}+\frac{x-8}{x-4}+\frac{x-7}{x-5}+4=0$$

$$\frac{x-10}{x-2}+1+\frac{x-9}{x-3}+1+\frac{x-8}{x-4}+1+\frac{x-7}{x-5}+1=0$$

$$\frac{x-10}{x-2}+\frac{x-2}{x-2}+\frac{x-9}{x-3}+\frac{x-3}{x-3}+\frac{x-8}{x-4}+\frac{x-4}{x-4}+\frac{x-7}{x-5}+\frac{x-5}{x-5}=0$$

$$\frac{x-10+x-2}{x-2}+\frac{x-9+x-3}{x-3}+\frac{x-8+x-4}{x-4}+\frac{x-7+x-5}{x-5}=0$$

$$\frac{2x-12}{x-2}+\frac{2x-12}{x-3}+\frac{2x-12}{x-4}+\frac{2x-12}{x-5}=0$$

$$\left(2x-12\right)\left(\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x-5}\right)=0$$

$$\left(2x-12\right)\left(\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-5}+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-4}\right)=0$$

$$\left(2x-12\right)\left[\frac{\left(x-5\right)+\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-5\right)}+\frac{\left(x-4\right)+\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x-4\right)}\right]=0$$

$$\left(2x-12\right)\left[\frac{2x-7}{\left(x-2\right)\left(x-5\right)}+\frac{2x-7}{\left(x-3\right)\left(x-4\right)}\right]=0$$

$$\left(2x-12\right)\left(2x-7\right)\left[\frac{1}{\left(x-2\right)\left(x-5\right)}+\frac{1}{\left(x-3\right)\left(x-4\right)}\right]=0$$

$$2x-12=0$$

$$2x=12$$

$$x=\frac{12}{2}$$

$$2x-7=0$$

$$2x=7$$

$$\frac{1}{\left(x-2\right)\left(x-5\right)}+\frac{1}{\left(x-3\right)\left(x-4\right)}=0$$

$$\frac{1}{\left(x-2\right)\left(x-5\right)}=-\frac{1}{\left(x-3\right)\left(x-4\right)}$$

$$\left(x-3\right)\left(x-4\right)=-\left(x-2\right)\left(x-5\right)$$

$$x^2-3x-4x+12=-\left(x^2-2x-5x+10\right)$$

$$x^2-7x+12=-\left(x^2-7x+10\right)$$

$$x^2-7x+12+\left(x^2-7x+10\right)=0$$

$$2x^2-14x+22=0$$

$$2x^2-14x+22=0 |·\frac{1}{2}$$

$$x^2-7x+11=0$$

$$a=1 ; b=-7 ; c=11$$

$$x_{3,4}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4·a·c}}{2·a}$$

$$x_{3,4}=\frac{-\left(-7\right)\pm \sqrt{{\left(-7\right)}^2-4·1·11}}{2·1}$$

$$x_{3,4}=\frac{7\pm \sqrt{49-44}}{2}$$

$$x_{3,4}=\frac{7\pm \sqrt{5}}{2}$$