795/HK15. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-795 / 14. példa

a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: $|x - 3| = 3 x - 1$

Az $f : ℝ \to ℝ; f (x) = a \cdot x + b$ lineáris függvény zérushelye $- 4$ . Tudjuk továbbá, hogy az $x = 4$ helyen a függvényérték $6$ .

b) Adja meg $a$ és $b$ értékét!

a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: $|x - 3| = 3 x - 1$

Az egyenlet alakja x ≥ 3 esetén:

$x - 3 = 3 x - 1$

$x - 3 x = - 1 + 3$

$- 2 x = 2$

$x = - \frac{2}{2}$

$x = - 1$

Ez nem megoldása az egyenletnek mivel nem teljesül a kezdő feltétel:

$x = - 1; x < 3$

Az egyenlet alakja x < 3 esetén:

$- (x - 3) = 3 x - 1$

$- x + 3 = 3 x - 1$

$3 + 1 = 3 x + x$

$4 = 4 x$

$x = \frac{4}{4} = 1 < 3$

Mivel a kezdő feltétel ( x<3 ), teljesül, ez a megoldás elfogadható.

$x = 1$

Az $f : ℝ \to ℝ; f (x) = a \cdot x + b$ lineáris függvény zérushelye $- 4$ . Tudjuk továbbá, hogy az $x = 4$ helyen a függvényérték $6$ .

b) Adja meg $a$ és $b$ értékét!

A példa szövege alapján két pont amin áthalad az adott egyenes:

$A (- 4, 0); B (4, 6)$

Az egyenes az y tengelyt +3-ban metszi, ezért:

$b = 3$

Az egyenes egyenletének normál alakja:

$y = a \cdot x + b$

$y = a \cdot x + 3$

Mivel az B pont (csakúgy mint a A pont) rajta fekszik az egyenesen, koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét:

$6 = a \cdot 4 + 3$

$6 - 3 = 4 a$

$4 a = 3$

$a = \frac{3}{4}$

MathReference - Példatár