742/HK20. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-742 / 16. példa

Egy háromszög csúcsai a koordináta-rendszerben A(–8; –12), B(8; 0) és C(–1; 12). Az A pontnak a B pontra vonatkozó tükörképe a D pont.

a) Számítsa ki a D pont koordinátáit!

b) Írja fel az ABC háromszög B csúcsán áthaladó magasságvonalának egyenletét!

c) Igazolja, hogy az ABC háromszög B csúcsánál derékszög van!

Az A, B és C pontokat szeretnénk a kék, zöld és sárga színekkel színezni úgy, hogy mindhárom pontot színezzük valamelyik színnel, de egy színezésen belül nem használjuk fel mindhárom színt.

d) Hány különböző színezés lehetséges ezekkel a feltételekkel?

Összes példa

Forrás: Magyarország: Közép szintű matematika érettségi [2020. május 5.] - 16..)

Geometria → Analitikus geometrija a síkban → Összetette feladatok

Egy háromszög csúcsai a koordináta-rendszerben A(–8; –12), B(8; 0) és C(–1; 12). Az A pontnak a B pontra vonatkozó tükörképe a D pont.

a) Számítsa ki a D pont koordinátáit!

A B pont az AD szakasz felezőpontja.

$x_{B} = \frac{x_{A} + x_{D}}{2}$

$8 = \frac{- 8 + x_{D}}{2}$

$8 \cdot 2 = - 8 + x_{D}$

$16 = - 8 + x_{D}$

$16 + 8 = x_{D}$

$x_{D} = 24$

$y_{B} = \frac{y_{A} + y_{D}}{2}$

$0 = \frac{- 12 + y_{D}}{2}$

$0 \cdot 2 = - 12 + y_{D}$

$0 = - 12 + y_{D}$

$y_{D} = 12$

$D (24, 12)$

b) Írja fel az ABC háromszög B csúcsán áthaladó magasságvonalának egyenletét!

A háromszög magasságvonala a csúcson áthaladó, a szemközti oldal egyenesére merőleges egyenes.

A B csúcson átmenő magasságvonal egyik normálvektora az AC:

$\vec{A C} = (x_{C} - x_{A}, y_{C} - y_{A}) = (- 1 - (- 8), 12 - (- 12))$

$\vec{A C} = (7, 24)$

Az EB egyenes egyenletének általános alakja:

$a x + b y + c = 0$

$\vec{n} = (a, b) = (7, 24)$

$7 x + 24 y + c = 0$

Mivel a B (8,0) pont része ennek az egyenesnek, meghatározható a c paraméter értéke:

$7 \cdot 8 + 24 \cdot 0 + c = 0$

$56 + c = 0$

$c = - 56$

$7 x + 24 y - 56 = 0$

c) Igazolja, hogy az ABC háromszög B csúcsánál derékszög van!

A háromszög két oldalvektora:

$\vec{B A} = (x_{A} - x_{B}, y_{A} - y_{B}) = (- 8 - 8, - 12 - 0)$

$\vec{B A} = (- 16, - 12)$

$\vec{B C} = (x_{C} - x_{B}, y_{C} - y_{B}) = (- 1 - 8, 12 - 0)$

$\vec{B C} = (- 9, 12)$

$\vec{B A} \cdot \vec{B C} = (- 16; - 12) \cdot (- 9; 12) = (- 16) \cdot (- 9) + (- 12) \cdot 12$

$\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 144 - 144$

$\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 0$

d) Hány különböző színezés lehetséges ezekkel a feltételekkel?

Ha mindhárom pontot ugyanazzal a színnel színezzük, akkor három különböző színezés lehetséges.

Ha két színt használunk fel, akkor ezt a két színt háromféleképpen választhatjuk ki:

$K Z, K S, Z S$

Legyen a két szín például a kék és a zöld. Ezzel a két színnel a három pontot 6-féleképpen színezhetjük ki:

$K K Z, K Z K, Z K K, Z Z K, Z K Z, K Z Z$

Így két színnel (3 ⋅ 6 =) 18 különböző színezés létezik.

Az öszes lehetséges színezések száma eszerint:

$n = 3 + 18$

$n = 21$

MathReference - Példatár