725/HE23. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-725 / 9. példa

Az ábrán egy medence méretarányos (kicsinyített) felülnézeti tervrajza látható. A medencét az y = x és az y = –2x + 2 egyenletű egyenes, valamint az y = x³ − x (0 ≤ x ≤ 1) egyenletű görbe fogja közre.

a) Számítsa ki, hogy mekkora a tervezett medence alapterülete, ha a tervrajzon látható (0;0) és (1;0) pontok távolsága a valóságban 12 méter lesz!

Adott az f: R ⁺→R ; f(x) = − x³+kx függvény (k valós paraméter). Az f függvény grafikonjához egy-egy érintőt húzunk az x=1, illetve az x=2 abszcisszájú pontjában.

b) Igazolja, hogy a két érintő metszéspontjának első koordinátája (a k paraméter érté-kétől függetlenül) 14/9

Összes példa

Forrás: Magyarország: Emelt szintű matematika érettségi [2023 május 9.] - 9..)

Összetett feladatok

a) Számítsa ki, hogy mekkora a tervezett medence alapterülete, ha a tervrajzon látható (0;0) és (1;0) pontok távolsága a valóságban 12 méter lesz!

A medence tervrajzának x tengely feletti része egy olyan háromszög, amelynek a harmadik csúcsa az y = x és az y = –2x + 2 egyenesek metszéspontja.

$x = - 2 x + 2$

$3 x = 2$

$x = \frac{2}{3}$

$y = x = \frac{2}{3}$

$A (\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

A háromszög alakú rész területe:

$T_{1} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{2}{3}$

$T_{1} = \frac{1}{3}$

Az x tengely alatti rész területe:

$T_{2} = - \int_{0}^{1} (x^{3} - x) \cdot d x$

$= - {[\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{1}$

$= {[\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{4}]}_{0}^{1}$

$= (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) - (\frac{0}{2} - \frac{0}{4})$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

$= \frac{2}{4} - \frac{1}{4}$

$T_{2} = \frac{1}{4}$

$T = T_{1} + T_{2}$

$T = \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$

$T = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}$

$T = \frac{4}{12} + \frac{3}{12}$

$T = \frac{7}{12}$

Mivel a tervrajzon 1 egység a valóságban 12 m, ezért 1 területegység a valóságban (12² =) 144 m².

$T = \frac{7}{4} \cdot 144 [m^{2}]$

$T = 84 [m^{2}]$

Adott az f: R ⁺→R ; f(x) = − x³+kx függvény (k valós paraméter). Az f függvény grafikonjához egy-egy érintőt húzunk az x=1, illetve az x=2 abszcisszájú pontjában.

b) Igazolja, hogy a két érintő metszéspontjának első koordinátája (a k paraméter érté-kétől függetlenül) 14/9

$f (x) = - x^{3} + k x$

Az érintési pontok:

$f (1) = - {(1)}^{3} + k \cdot 1$

$f (1) = k - 1$

$A (1; k - 1)$

$f (2) = - {(2)}^{3} + k \cdot 2$

$f (2) = 2 k - 8$

$B (2; 2 k - 8)$

Az első derivált egy adott pontban az érintő egyenes iránytényezője!

$f^{'} (x) = - 3 x^{2} + k$

$f^{'} (- 1) = - 3 {(- 1)}^{2} + k$

$m_{A} = f^{'} (- 1) = k - 3$

$f^{'} (2) = - 3 {(2)}^{2} + k$

$m_{B} = f^{'} (2) = k - 12$

Az érintők egyenlete:

$y_{A} = m_{A} \cdot x_{A} + n_{A}$

$k - 1 = (k - 3) \cdot 1 + n_{A}$

$k - 1 - k + 3 = n_{A}$

$n_{A} = 2$

$y = (k - 3) x + 2$

$y = k x - 3 x + 2$

$y_{B} = m_{B} \cdot x_{B} + n_{B}$

$2 k - 8 = (k - 12) \cdot 2 + n_{B}$

$2 k - 8 = 2 k - 24 + n_{B}$

$n_{B} = 24 - 8$

$n_{B} = 16$

$y = (k - 12) x + 16$

$y = k x - 12 x + 16$

$k x - 3 x + 2 = k x - 12 x + 16$

$12 x - 3 x = 16 - 2$

$9 x = 14$

$x = \frac{14}{9}$

MathReference - Példatár