$$f\left[g\left(x\right)\right]=2·\sqrt{x}-1$$

$$g\left[f\left(x\right)\right]=\sqrt{2x-1}$$

$$f\left[g\left(x\right)\right]=g\left[f\left(x\right)\right]$$

$$2\sqrt{x}-1=\sqrt{2x-1}|{\left(\right)}^2$$

$${\left(2\sqrt{x}-1\right)}^2={\left(\sqrt{2x-1}\right)}^2$$

$${\left(2\sqrt{x}\right)}^2+2·2\sqrt{x}·\left(-1\right)+{\left(-1\right)}^2={\left(\sqrt{2x-1}\right)}^2$$

$$4x-4\sqrt{x}+1=2x-1$$

$$4x-2x+1+1=4\sqrt{x}$$

$$2x+2=4\sqrt{x} |·\frac{1}{2}$$

$$x+1=2\sqrt{x} |{\left(\right)}^2$$

$${\left(x+1\right)}^2={\left(2\sqrt{x}\right)}^2$$

$$x^2+2x+1=4x$$

$$x^2+2x+1-4x=0$$

$$x_{1,2}=\frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·1}}{2·1}=\frac{2\pm \sqrt{4-4}}{2}=\frac{2}{2}$$

$$x_1=x_2=x=1$$

Behelyettesítéssel ellenőrizzük a megoldás megfelel-e az eredeti egyenlet értelmezési tartományának.

$$2\sqrt{1}-1=\sqrt{2·1-1}$$

$$2-1=\sqrt{2-1}$$

$$1=1$$

Mivel az x=1 kielégíti az egyenletet, ezért a végső megoldás valóban:

$${\int }_a^b\left(2x-1\right)dx=\left(b-a\right)\left(b+a-1\right)=8 \left(a<b\right)$$

Mivel b > a, ezért b – a > 0, tehát (b + a – 1)-nek is pozitívnak kell lennie.

Az a és b egész számok, tehát mindkét szorzótényező egész, így (a sorrendet is figyelembe véve) a 8 négyféleképpen bontható két tényező szorzatára:

$$8=8·1=4·2=2·4=1·8$$

$$\begin{array}{cccc}\left(b-a\right)& \left(b+a-1\right)& b& a\\ 8& 1& 5& -3\\ 4& 2& 3,5& -0.5\\ 2& 4& 3,5& 1,5\\ 1& 8& 5& 4\end{array}$$

Mivel a és b egészek, így két megoldása van a feladatnak: