722/HE23. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-722 / 6. példa

Egy felül nyitott doboz vízszintes asztallapon áll. A dobozt három téglalap és két derékszögű trapéz határolja.
A doboznak a vízszintes síkra illeszkedő lapja 8 cm × 6 cm méretű, két egymással szemközti függőleges síkú lapja pedig 6 cm × 5 cm, illetve 6 cm × 2 cm méretű téglalap.

a) Számítsa ki a doboz testátlóinak hosszát!

A test kiterített hálóját az ábra sötétített tartománya szemlélteti. Ezt a hálót egy 15 cm × 16 cm-es téglalapból vágjuk ki (ennek oldalai párhuzamosak a test 8 cm × 6 cm-es alaplapjának oldalaival).

c) Mekkorának válasszuk a kartonlap oldalainak hosszát, hogy a területe a lehető legkisebb legyen?

Összes példa

Forrás: Magyarország: Emelt szintű matematika érettségi [2023 május 9.] - 6..)

Összetett feladatok

a) Számítsa ki a doboz testátlóinak hosszát!

A test a 6 cm-es él felezőpontján átmenő függőleges síkra szimmetrikus, ezért) csak kétféle hosszúságú testátló van.

A D₁ rövidebb testátló hossza egy 6 × 8 × 2 cm élű téglatest testátlója:

$D_{1} = \sqrt{6^{2} + 8^{2} + 2^{2}} = \sqrt{36 + 64 + 4} = \sqrt{104}$

$D_{1} \approx 10, 2$

A D₂ hosszabb testátló hossza egy 6 × 8 × 5 cm élű téglatest testátlója:

$D_{2} = \sqrt{6^{2} + 8^{2} + 5^{2}} = \sqrt{36 + 64 + 25} = \sqrt{125}$

$D_{2} \approx 11, 2$

b) Hány százalék hulladék keletkezik?

$T_{1} = 6 \cdot 2$

$T_{1} = 12$

$T_{2} = 6 \cdot 8$

$T_{2} = 48$

$T_{3} = 6 \cdot 5$

$T_{3} = 30$

$T_{4} = 2 \cdot 8$

$T_{4} = 16$

$T_{5} = \frac{8 \cdot 3}{2}$

$T_{5} = 12$

$T = T_{1} + T_{2} + T_{3} + 2 \cdot T_{4} + 2 \cdot T_{5}$

$T = 12 + 48 + 30 + 2 \cdot 16 + 2 \cdot 12$

$T = 146$

A téglalap területe, amelyből a test hálója kivágható:

$T_{0} = 15 \cdot 16$

$T_{0} = 240$

A hulladék területe összesen:

$T_{h} = T_{0} - T = 240 - 146$

$T_{h} = 94$

$h = \frac{T_{h}}{T_{0}} \cdot 100 % = \frac{94}{240} \cdot 100 %$

$h \approx 39, 2 %$

Egy téglalap alakú kartonlap oldalhosszait úgy szeretnénk megválasztani, hogy alul és felül 4-4 cm-es, jobb és bal oldalon 2-2 cm-es margót hagyva a lap közepén megmaradó téglalap alakú terület 50 cm2 nagyságú legyen.

c) Mekkorának válasszuk a kartonlap oldalainak hosszát, hogy a területe a lehető legkisebb legyen?