711/HK23. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-711 / 13. példa

Adott a valós számok halmazán értelmezett f függvény: $x \mapsto {(x + 3)}^{2} - 2, 25$ .

a) Mit rendel az f függvény az x=1-hez?

b) Adja meg az f függvény zérushelyeit!

c) Az alábbi mondatban húzza alá a megfelelő szót (maximuma vagy minimuma), és egészítse ki a mondatot a pontozott helyeken a hiányzó számokkal úgy, hogy igaz állítást kapjon!
Az f függvénynek az x = …… helyen (maximuma / minimuma) van, melynek értéke …… .

d) Adja meg az alábbi állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszát indokolja!
Az f függvény értékkészlete a valós számok halmaza.

Összes példa

Forrás: Magyarország: Közép szintű matematika érettségi [2023 május 9.] - 13..)

Matematikai analízis → Nevezetes függvények

a) Mit rendel az f függvény az x=1-hez?

$f (1) = {(1 + 3)}^{2} - 2, 5 = 4^{2} - 2, 25 = 16 - 2, 25$

$f (1) = 13, 75$

b) Adja meg az f függvény zérushelyeit!

$f (x) = {(x + 3)}^{2} - 2.25 = 0$

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} - 2.25 = 0$

$x^{2} + 6 x + 9 - 2.25 = 0$

$x^{2} + 6 x + 6.75 = 0$

$a = 1; b = 6; c = 6, 75$

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6, 75}}{2 \cdot 1}$

$x_{1, 2} = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 27}}{2 \cdot 1} = \frac{- 6 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{- 6 \pm 3}{2}$

$x_{1} = \frac{- 6 + 3}{2} = \frac{- 3}{2}$

$x_{1} = - \frac{3}{2} = - 1, 5$

$x_{2} = \frac{- 6 - 3}{2} = \frac{- 9}{2}$

$x_{2} = - \frac{9}{2} = - 4, 5$

$x_{1} = - 1, 5 \land x_{2} = - 4, 5$

A szélsőérték helye, akár minimum, akár maximum, mindíg a két zérus hely között van félúton:

$x_{E} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$

$x_{E} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{(- 1, 5) + (- 4, 5)}{2} = \frac{- 6}{2}$

$x_{E} = - 3$

$f (- 3) = {(- 3 + 3)}^{2} - 2, 25 = 0^{2} - 2, 25$

$f (- 3) = - 2, 25$

Mivel az a) pont alapján f(1)=13,75, és f(-3)=-2,25 ezért az f(-3) a legkissebb érték azaz MINIMUM

$f (- 3) = - 2, 25 \to M I N I M U M$

d) Adja meg az alábbi állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)! Válaszát indokolja!
Az f függvény értékkészlete a valós számok halmaza.

Az értékkészlet a függvény lehetséges értékeit jelenti. Mivel a függvénynek van minimuma, aminek értéke -2,25, ezért például a -5 nem része az értékkészletnek.

Az állítás hamis.

MathReference - Példatár