683/VB03. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-683 / 3. példa

Egy hegyesszögű háromszögbe melynek alapja 10 cm, és az alaphoz tartozó magassága 8 cm olyan téglalapot írunk amelynek két csúcsa a háromszög alapján, a másik kettő pedig a másik két oldalán fekszik. Ha a téglalap területe 15 cm², számítsa ki a téglalap oldalait.

Forrás: Vene T. Bogoslavov: Megoldott feladatok gyűjteménye 3 - 3..)

Geometria → Síkidomok → Háromszög

Az ABC háromszög hasonló az A₁B₁C₁ háromszöggel.

$∆ A B C ~ ∆ A_{1} B_{1} C$

$10 : y = 8 : (8 - x)$

$8 y = 10 \cdot (8 - x)$

$T_{□} = x \cdot y = 15$

$y = \frac{15}{x}$

$8 \cdot \frac{15}{x} = 80 - 10 x | \cdot x$

$120 = 80 x - 10 x^{2}$

$10 x^{2} - 80 x + 120 = 0 | \cdot \frac{1}{10}$

$x^{2} - 8 x + 12 = 0$

$x_{1, 2} = \frac{- (- 8) \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2}$

$= \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

$= \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2}$

$= \frac{8 \pm 4}{2}$

$x_{1} = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2}$

$x_{1} = 6$

$x_{2} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2}$

$x_{2} = 2$

$y_{1} = \frac{15}{x_{1}} = \frac{15}{6} = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}$

$y_{1} = \frac{5}{2} = 2, 5$

$y_{2} = \frac{15}{x_{2}} = \frac{15}{2} = 7, 5$

$(x_{1} = 6; y_{1} = 2, 5) (x_{2} = 2; y_{2} = 7, 5)$