647/HK21. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-647 / 18abcd. példa

Egy nyolccsapatos jégkorongbajnokságban minden csapat minden másikkal egyszer mérkőzik meg.
Az ábrán látható gráf az eddig lejátszott mérkőzéseket szemlélteti. A pontok a csapatokat jelképezik, és két pont között pontosan akkor van él, ha a két csapat már játszott egymással.

A bajnokságból 5 fordulót már megrendeztek, ám néhány mérkőzés elmaradt. (Egy fordulóban – ha nincs elmaradó mérkőzés – mindegyik csapat egy mérkőzést játszik.)
a) Adja meg három olyan csapat betűjelét, melyek közül bármely kettő már lejátszotta az egymás közötti mérkőzését!

b) Hány mérkőzés maradt el az első 5 fordulóban?
Az egyik játékos 0,3 valószínűséggel szerez gólt egy büntetőlövésből.

c) Mekkora a valószínűsége, hogy 10 büntetőlövésből pontosan 4 gólt szerez?

A szabványos jégkorong egy olyan vulkanizált gumihenger, amelynek magassága 2,54 cm (1 inch), alapkörének átmérője 7,62 cm (3 inch). Az egyik csapat a pálya bejáratához egy olyan nagyméretű korongot terveztet, amely (matematikai értelemben) hasonló a szabványos jégkoronghoz. A tervben szereplő nagyméretű korong térfogata 1 m³.

d) Számítsa ki a nagyméretű korong magasságának és alapköre átmérőjének a hosszát!

Összes példa

Forrás: Magyarország: Közép szintű matematika érettségi [2021. május 4.] - 18.abcd.)

Összetett feladatok

a) Adja meg három olyan csapat betűjelét, melyek közül bármely kettő már lejátszotta az egymás közötti mérkőzését!

A feltétel szerint ha kiválasztunk tetszőlegese 3 csapatot, azok minden mérkőzésüket le kellett hogy játszák azaz mindenkinek játszania kellett mindenkivel.

Gráfokkal ábrázolva ez azt jelenti, hogy mindhárom pont össze van kötve egymással. A gráfon, tehát háromszögeket kell keresni.

Ezek a betűháromasok halmazba rendezve:

$\{A B E, A C D, A C E, A E F, B G H, D G H\}$

b) Hány mérkőzés maradt el az első 5 fordulóban?

1 forduló alatt 4 mérkőzést játszanak, mivel öszesen 8 csapa van.

5 forduló alatt tehát 5x4=20 mérkőzést kellett volna lejátszani, ha nem lettek volna elmaradt mérkőzések.

Minden egyes mérkőzés egy élet jelent a gráfban. Öszesen 15 él van.

Az elmaradt mérkőzések száma tehát 20-15=5

Az egyik játékos 0,3 valószínűséggel szerez gólt egy büntetőlövésből.

c) Mekkora a valószínűsége, hogy 10 büntetőlövésből pontosan 4 gólt szerez?

Annak a valószínűsége, hogy a játékos egy büntetőlövésből nem szerez gólt:

$1 - 0, 3 = 0, 7$

Egy lehetséges forgatókönyv 4 gól (G) és 6 nem gól (NG) esetére:

$\{G, G, G, G, N G, N G, N G, N G, N G, N G\}$

Mivel a 10 lövés sikere egymástól teljesen független esemény, a fenti eset valószínűsége, az egyenkénti esetek valószínűségének szorzata:

$P_{1} = 0, 3^{4} \cdot 0, 7^{6}$

$P_{1} = 0, 000952957$

Figyelembe kell azonban azt is venni, hogy a 4 gól és 6 nem gól, sok féleképpen előfordulhat. Mivel 10 lövésből kell 4 gólt szerezni az a kérdés hány féleképpen tudunk 10 belőtt gólból 4-et választani. Ez 4 osztályú ismétlés nélküli kombináció 10 elemből:

$n = {\bar{C}}_{10}^{4} = (\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{10 \cdot (10 - 4)!}{4!}$

$n = 210$

A teljes valószínűség:

$P = n \cdot P_{1}$

$P = 20 \cdot 0, 000952957$

$P \approx 0, 200$

d) Számítsa ki a nagyméretű korong magasságának és alapköre átmérőjének a hosszát!

$1 m^{3} = 1 000 000 c m^{3}$

A szabványos korong sugara:

$r = \frac{7, 62}{2} = 3, 81 c m$

A szabványos korong térfogata:

$V = r^{2} \cdot π \cdot m = 3, 81^{2} \cdot π \cdot 2, 54$

$V = 115, 8 c m^{3}$

A k-szorosra nagyított korong térfogata az eredetinek k³- szorosa:

$115, 8 \cdot k^{3} = 1000000$

$k^{3} = \frac{1000000}{115, 8}$

$k^{3} = 8636$

$k = \sqrt[3]{8636} \approx 20, 5$

A nagyméretű korong magasság:

$M = k \cdot m = 20, 5 \cdot 2, 54$

$M \approx 52 c m$

Alapkörének átmérője:

$D = 20, 5 \cdot 7, 62$

$D \approx 156 c m$

MathReference - Példatár