545/HK17. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-545 / 13. példa

Adott a valós számok halmazán értelmezett f függvény:

$f : x \mapsto {(x - 1)}^{2} - 4$

a) Számítsa ki az f függvény x = – 5 helyen felvett helyettesítési értékét!
b) Ábrázolja az f függvényt, és adja meg szélsőértékének helyét és értékét!
c) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:

${(x - 1)}^{2} - 4 = - x - 1$

Forrás: Magyarország: Közép szintű matematika érettségi [2017. május 9.] - 13..)

Algebra → Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek → Exponenciális egyenletek

f (x) = {(x - 1)}^{2} - 4

f (- 5) = {(- 5 - 1)}^{2} - 4 = {(- 6)}^{2} - 4 = 36 - 4

f (- 5) = 32

b) Ábrázolja az f függvényt, és adja meg szélsőértékének helyét és értékét!

Szélsőérték, minimum, az M pontban van: M(1,-4)

{(x - 1)}^{2} - 4 = - x - 1

x^{2} - 2 x + 1 - 4 = - x - 1

x^{2} - 2 x + 1 - 4 + x + 1 = 0

x^{2} - x - 2 = 0

a = 1; b = - 1; c = - 2

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}

x_{1, 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}

x_{1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2

x_{2} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{- 2}{2} = - 11

x_{1} = 2; x_{2} = - 1

Másodfokú egyenletek megoldása:

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

a) f (- 5) = 32 b) M (1, - 4) c) x_{1} = 2; x_{2} = - 1