419/HK17. példa / Matematika - Megoldott feladatok gyűjteménye

MR-419 / 14. példa

Az ABC derékszögű háromszög egyik befogója 8 cm, átfogója 17 cm hosszú.

a) Számítsa ki a háromszög 17 cm-es oldalához tartozó magasságának hosszát!
b) Hány cm² a háromszög körülírt körének területe?

A DEF háromszög hasonló az ABC háromszöghöz, és az átfogója 13,6 cm hosszú.

c) Hány százaléka a DEF háromszög területe az ABC háromszög területének?

a) Számítsa ki a háromszög 17 cm-es oldalához tartozó magasságának hosszát!

a^{2} + 8^{2} = 177^{2}

a^{2} + 64 = 289

a^{2} = 289 - 64

a^{2} = 225

a = \sqrt{225}

a = 15

8^{2} = q \cdot 17

64 = q \cdot 17

q = \frac{64}{17}

8^{2} = m^{2} + q^{2}

m^{2} = 8^{2} - q^{2}

m^{2} = 8^{2} - {(\frac{64}{17})}^{2}

m^{2} = 64 - \frac{4096}{289}

m^{2} = \frac{64 \cdot 289 - 4096}{289}

m^{2} = \frac{18496 - 4096}{289}

m^{2} = \frac{17400}{289}

m = \sqrt{\frac{17400}{289}}

m = \frac{120}{17}

m = 7, 1 c m

b) Hány cm² a háromszög körülírt körének területe?

R = \frac{17}{2} = 8, 5

T = R^{2} π = 8, 5^{2} \cdot π

T = 227 c m^{2}

c) Hány százaléka a DEF háromszög területe az ABC háromszög területének?

a_{1} = 15; b_{1} = 8; c_{1} = 17

a_{2} = ?; b_{2} = ?; c_{2} = 13, 6

a_{1} : b_{1}; c_{1} = a_{2} : b_{2}; c_{2}

15 : 8 : 17 = a_{2} : b_{2} : 13, 6 x

15 : 17 = a_{2} : 13, 6

15 \cdot 13, 6 = a_{2} \cdot 17

a_{2} = \frac{15 \cdot 13, 6}{17}

a_{2} = 12 x

8 : 17 = b_{2} : 13, 6

8 \cdot 13, 6 = b_{2} \cdot 17

b_{2} = \frac{8 \cdot 13, 6}{17}

b_{2} = 6, 4

T_{2} = \frac{a_{2} \cdot b_{2}}{2}

T_{2} = \frac{12 \cdot 6, 4}{2} = 6 \cdot 6, 4 = 38, 4 c m^{2}

T_{1} = \frac{a_{1} \cdot b_{1}}{2}

T_{1} = \frac{15 \cdot 8}{2} = 15 \cdot 4

T_{1} = 60 c m^{2}

\frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{38, 4}{60} \cdot 100 %

\frac{T_{2}}{T_{1}} = 64 %

Írja fel Pitagorasz tételét az egész háromszögre!

A p vagy q meghatározásához alkalmazza a befogótételt!

A kis derékszögű háromszögből meghatározható a keresett magasság!

Mivel az ABC háromszög derékszögű, így a Thalésztétel megfordítása miatt a körülírt körének középpontja az átfogó felezőpontja!

m = 7, 1 c m T = 227 c m^{2} \frac{T_{2}}{T_{1}} = 64 %

MathReference - Példatár