$$y=\sqrt[3]{x}·\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$$

$$y=u·v=\sqrt[3]{x}·\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$$

$$u=\sqrt[3]{x} ; u=x^{\frac{1}{3}} ; u^{\text{'}}=\frac{1}{3}{x}^{\frac{1}{3}-1} ; u^{\text{'}}=\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}$$

$$v=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}} ; v=x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}} ;$$

$$v^{\text{'}}=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}-\left(-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}-1}\right) ; v^{\text{'}}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}$$

$$y^{\text{'}}=\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}·\left(x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}\right)+x^{\frac{1}{3}}·\left(\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}\right)$$

$$y^{\text{'}}=\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}-\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{3}-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{3}-\frac{3}{2}}$$

$$y^{\text{'}}=\frac{1}{3}{x}^{\frac{-4+3}{6}}-\frac{1}{3}{x}^{\frac{-4-3}{6}}+\frac{1}{2}{x}^{\frac{2-3}{6}}+\frac{1}{2}{x}^{\frac{2-9}{6}}$$

$$y^{\text{'}}=\frac{1}{3}{x}^{-\frac{1}{6}}-\frac{1}{3}{x}^{-\frac{7}{6}}+\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{6}}+\frac{1}{2}{x}^{-\frac{7}{6}}$$

$$y^{\text{'}}=x^{-\frac{1}{6}}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)+x^{-\frac{7}{6}}\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)$$

$$y^{\text{'}}=x^{-\frac{1}{6}}·\frac{2+3}{6}+x^{-\frac{7}{6}}·\frac{-2+3}{6}$$

$$y^{\text{'}}=\frac{5}{6}·\frac{1}{\sqrt[6]{x}}+\frac{1}{6}·\frac{1}{\sqrt[6]{x^7}}$$