$$y=x^{\frac{1}{2}}·\sin x$$

$$u=x^{\frac{1}{2}} ; v=sinx \Rightarrow y=u·v$$

$$u\text{'}=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}} ; v\text{'}=\cos x$$

$$y\text{'}=u\text{'}·v+u·v\text{'}$$

$$y\text{'}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·sinx+x^{\frac{1}{2}}·cosx$$

$$y\text{'}=\frac{\sin x}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\cos x$$